电路元器件之电容器

电容器的组成

电容器是由一个绝缘介质两端接上金属极板组成。

从广义的角度上来看,也许任何两个金属极板加上中间的绝缘介质都可以视为一个电容。

例如,教室两边的铝合金窗架和教室中间的空气,也可以视为是一个电容,只不过由于空气这个介质的介电常数太小,并且两个铝合金窗架之间的距离太远,因此当两个铝合金窗架通入直流电时,无法聚集较多的电子。

电容器的性质

由于电容器两个极板之间具有绝缘介质,因此电子无法直接穿透电容器流动。

当电容器接入直流电源时,极板两端带上电压,电压将会使得极板两端分别聚集正负电荷。正负电荷会被互相吸引,开始充电。

电容器两极板通过导线连接,正负电荷中和,电容器放电。

库伏特性

$q=Cu$

C 为 电容系数。单位 F(法拉)

伏安特性

$i=\frac{dq}{dt}= \frac{d(cu)}{dt}= C \frac{du}{dt}$

线性电容的端口电流与端口电压的时间变化率成正比

记忆特性

$u(t)= \frac{q(t)}{C} = \frac{1}{C} \int^t_{-∞} i(t)dt$

这个公式是电容在任意时刻时,电压的取值。它是由伏安特性的差分方程推导出的积分公式。

从中可以看出,他在 t 时刻的电压,是由 t 时刻之前所有的电流取值积分后除以电容系数所得。

功率特性

$p=ui=Cu \frac{du}{dt} = \frac{d( \frac{Cu^2}{2} )}{dt}$

根据伏安特性和记忆特性推导出他的功率公式,通过 牛顿-莱布尼茨 定理,推导出功率计算原函数。

储能特性

$w_e = \int^t_{-∞} p(t’)dt’ = \int^t_{-∞} Cu \frac{du}{dt’} dt’ = C \int^t_{-∞} u du = \frac{Cu^2}{2} \begin{vmatrix} u(t)\\u(-∞)\end{vmatrix} $

将功率对时间积分,就可以得到电容器的储能值。通过 牛顿-莱布尼茨 公式,可以推导出他的原函数。

根据该函数可以计算出他在 t 时刻时的储能。

电容器的性质

  • 电容器上任意时刻的电流取决于该时刻电容器两端电压的变化率,与该时刻电容器电压的数值无关。
  • 电容器电压变化越快,电流越大。即使某个时刻电压为0,也可能有电流。
  • 当电容器电压为恒定值,电容器相当于开路。电容器有隔断直流的作用。
  • 任一时刻电容电流为有限值,则电压不能跃变。

串并联等效

串联

根据串联电流相等,电压相加的原则,推导电容的串联等效公式

根据电容伏安特性公式
$$
i=\frac{dq}{dt}= \frac{d(cu)}{dt}= C \frac{du}{dt}
$$
移项得到
$$
du = \frac{idt}{C}
$$
两端同时积分
$$
u = \frac{1}{C} \int idt
$$
n个电容串联,电压相加,则
$$
u_1+u_2+…+u_n=\frac{1}{C_1} \int idt + \frac{1}{C_2} \int idt + … + \frac{1}{C_n} \int idt
$$
因为电流相同,则
$$
u_1+u_2+…+u_n=(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + … + \frac{1}{C_n}) \int idt
$$
通过和单个电容的伏安特性方程来比较,发现多个电容串联的等效电容就是多个电容的倒数之和,类似于电阻的并联

并联

根据并联电压相等,电流相加的原则,推导电容的并联等效公式

根据电容伏安特性公式
$$
i=\frac{dq}{dt}= \frac{d(cu)}{dt}= C \frac{du}{dt}
$$
推导n个电容并联
$$
i_1+i_2+…+i_n= C_1 \frac{du}{dt} + C_2 \frac{du}{dt} + … + C_n \frac{du}{dt}
$$
因为电压相等,则
$$
i_1+i_2+…+i_n= (C_1 + C_1 + … + C_n) \frac{du}{dt}
$$
推导出多个电容并联的等效电容就是多个电容之和,类似于电阻的串联

参考资料