泰勒公式

使用多项式近似表达函数

我们可以近似将函数f(x)在某个点的导数值乘以自变量x的微分,来求得函数f(x)的微分。

因为当`dx足够小的时候,可以近似认为dx区域内的增长率为x0处的增长率(事实上增长率应该是是f(x)的导数,是一个随着x`变化的动态值)

然后我们可以将这个近似f(x)的值定义为一个新的函数P1(x),对于x0来说,P1(x)的导数和他本身相等,因为P1(x)近似取值的时候就是去x0处的导数为近似增长率。
$$
\delta y ≈ dy = f’(x_0)\delta x \
f(x) - f(x_0) ≈ f’(x_0)(x-x_0) \
f(x) ≈ f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0) = P_1(x) \
P_1(x_0) = f(x_0), P’_1(x_0) = f’(x_0)
$$
误差:
$$
f(x) - P_1(x) = o(x-x_0)
$$
他们的误差是x-x0的一个高阶数

寻找这个多项式

$$
P_n(x) = a_0(x-x_0)^0 + a_1(x-x_0)^1 + a_2(x-x_0)^2 + … + a_n(x-x_0)^n
$$

要求
$$
f(x) - P_n(x) = o((x-x_0)^n)
$$
假设
$$
P_n(x_0) = f(x_0), P_n’(x_0) = f’(x_0), P_n’’(x_0) = f’’(x_0), P_n^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0),
$$
根据 $P_n(x_0) = a_0$ 得到 $a_0 = f(x_0)$

然后对Pn求导,得到如下式子
$$
P_n’(x) = 1a_1(x-x_0)^0 + 2a_2(x-x_0)^1 + 3a_3(x-x_0)^2 + … + na_n(x-x_0)^{n-1}
$$

因此

$$
P_n’(x_0) = 1 \cdot a_1(x-x_0)^0 = a_1, a_1 = f’(x_0)
$$

再次求导得到Pn的二阶导数

$$
P_n’’(x) = 1\cdot2a_1(x-x_0)^0 + 2\cdot3a_1(x-x_0)^1 + … + (n-1)na_n(x-x_0)^{n-2}
$$

因此

$$
P_n’’(x) = 1*2a_1(x-x_0)^0 = 2!a_1
$$

也就是

$$
a_2 = \frac{1}{2!}f’’(x_0), … , a_n = \frac{1}{n!}f^{n}(x_0)
$$

最终得出该多项式为

$$
P_n(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2!}f’’(x_0) + … + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
$$

泰勒中值定理1

如果函数f(x)在x0处有n阶导数,则存在x0的一个领域,对于该领域内任一x,有
$$
f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2!}f’’(x_0) + … + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)
$$
其中 $ R_n(x) = o((x-x_0)^n) $

则称
$$
P_n(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2!}f’’(x_0) + … + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
$$
f(x)x0处按x-x0的冥展开的n次泰勒多项式


$$
f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2!}f’’(x_0) + … + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)
$$
称为f(x)x0处或按x-x0的幂展开的带有佩亚诺 (Peano)余项的 n 阶泰勒公式

上面余项的表达式称为佩亚诺余项

泰勒中值定理2

如果函数f(x)在x0的某领域内具有直到n+1阶的导数,那么对任一属于x0领域的x,有
$$
f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2!}f’’(x_0) + … + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)
$$
其中(拉格朗日余项)
$$
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}, \xi ∈ (x_0,x)
$$

$$
f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2!}f’’(x_0) + … + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)
$$
f(x)x0处或按照x-x0的冥展开的带有拉格朗日余项n 阶泰勒公式

n=0时,泰勒公式为
$$
f(x) = f)x_0 + f’(\xi)(x-x_0), \xi ∈ (x_0,x)
$$

带有佩亚诺余项的麦克劳林(Maclaurin)公式

$$
f(x) = f(0)x^0 + f’(0)x^1 + \frac{f’’(x_0)}{2!}x^2 + … + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)
$$

带有拉格朗日余项的麦克劳林公式

$$
f(x) = f(0)x^0 + f’(0)x^1 + \frac{f’’(x_0)}{2!}x^2 + … + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}, ( 0 < \theta < 1 )
$$

参考资料