不定积分求解

查表法

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第一类换元法

换元公式

$$
\int f[g(x)]g’(x)dx = F[g(x)] + C = \int f(u)du|_{u=g(x))}
$$

证明

因为函数f(u)有原函数F(u),也就是
$$
F’(u) = f(u), \int f(u)du = F(u) + C
$$
根据复合函数求导法则,得到
$$
\frac{dF[g(x)]}{dx} = F’[g(x)]g’(x) = f[g(x)]g’(x)
$$
所以
$$
\int f[g(x)]g’(x)dx = F[g(x)] + C
$$

理解

通过将原函数转换成由一个函数f(g(x))和另一个函数g’x的乘积,相当于是凑成一个复合函数的导数,然后再把gx换元成u,由于现在只剩u了,求原函数会很方便。求出原函数之后,把u所指代的gx替换原先的x即可。

第二类换元法

换元公式

$$
\int f(x)dx = \int f[g(u)]g’(u)du|_{u=g^{-1}(x))}
$$

$$
f(x)dx |_{x=g(u))} = f[g(u)]d[g(u)] = f[g(u)]g’(u)du
$$

理解

先将原始函数 f(x) 分解成由两个函数复合的形式,然后 把dx中的x换成函数g(u),求出他的不定积分之后,将g(u)带入回去即可

三角代换法

  • 含 $\sqrt{a^2-x^2}$ 的可令 x=a sin t
  • 含 $\sqrt{a^2+x^2}$ 的可令 x=a tan t
  • 含 $\sqrt{x^2-a^2}$ 的可令 x=a sec t

分部积分法

分部积分公式

根据导数乘积法则,然后移项,得到如下公式
$$
(uv)’ = u’v + uv’, u’v = (uv)’ - uv’
$$

$$
\int u’v dx = \int (uv)’ dx - \int uv’ dx = uv - \int uv’ dx
$$
关键是要选择适当的u和v函数,使得u’v比uv’更容易求得
$$
\int udv = uv - \int vdu
$$

注意

一般可以按照如下顺序选择u:

  • 反三角函数
  • 对数函数
  • 冥函数
  • 三角函数
  • 指数函数

理解

通常用来求解乘积组成的积分。将一个函数视为一个原函数和一个导函数的乘积,然后通过根据导数乘积法则,分别对其求不定积分。

参考资料