不定积分

求导运算

已知F(x),求F’(x),导函数f(x)=F’(x)

积分运算

已知f(x),求F(x),满足F’(x)=f(x)

定义

如果F(x)在区间上可导,对于任一属于该区间的x,都有
$$
F’(x) = f(x) 或 dF(x) = f(x)dx
$$

原函数个数

如果F(x)是f(x)的一个原函数,则F(x)+C也是f(x)的原函数,其中C为任意常数

原函数存在时不唯一

两个原函数之间至多差一个常数

使用拉格朗日中值定理的推论

理解

因为导数反映的仅仅是函数的变化率,而不是函数的绝对位置(高度)。所以同一个导数会有很多个原函数,所以叫做不定积分。

表达式

$$
\int f(x)dx = F(x)+C
$$

不定积分是原函数的一般表达式

也可以把常数项移项写成如下形式
$$
\int f(x)dx + C = F(x)
$$
积分符号右侧写的是导函数

性质

逆运算

$$
\frac{d[\int f(x)dx]}{dx} = f(x), \int f’(x)dx = f(x) + C
$$

可以看出积分和微分互为逆运算

运算性质

$$
\int [f(x)±g(x)]dx = \int f(x)dx ± \int g(x)dx
$$

$$
\int kf(x)dx = k\int f(x)dx (k<>0,k!=0)
$$

参考资料