定积分

定义

函数f(x)在[a,b]上有界,将这一段划分为无数个dx,以每个dx中的一个函数值为高度,乘以dx,然后把每个小段都这样做并且相加,当dx趋于0的时候,这些小段相加的和,就是这个函数在区间内的定积分了。

符号

$$
\int_a^b f(x)dx \ [a,b]
$$

性质

  • 当积分上下限一样的时候,积分为0
  • 当a>b时, $\int_a^b f(x)dx = - \int_b^a f(x)dx $
  • 线性性质 $\int_a^b [f(x)±g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx ± \int_a^b g(x)dx $
  • 区间可加性 $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$
  • 极限保号性 极限函数在某个区间内大于0,则在对应区间的积分结果也大于0
  • 如果两个函数,恒有f(x)大于或小于g(x),则这两个函数的定积分的关系也同样大于或小于(保号性)

几何意义

以这个函数曲线,两个边界,以及x轴底边围成的封闭图形的面积

定积分中值定理

性质

m和M分别是f(x)在[a,b]上的最小值和最大值,则有
$$
m(b-a) <= \int f(x)dx <= M(b-a), \ (a<b)
$$

定积分中值定理

如果函数 f (x)在[a,b]上连续,
则在区间[a,b]上至少存在一点 x0 ,使得下式成立
$$
\int_a^b f(x)dx = f(x_0)(b-a)
$$
以上都可以借助图形来理解

存在条件

  • 若f属于[a,b],则f(x)在[a,b]上可积
  • f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积

求解方法

定积分表

通过定积分表,寻找原函数,带入定积分上下限求解

换元法

定积分换元积分公式

设f(x)∈C[a,b],如果x=g(t)满足

  • g(m)=a, g(n)=b
  • g’ ∈ C[m,n] 或 g’ ∈ C[n,m] ,且g([m,n]) 或 g([n,m]) 等于 [a,b]

则有如下公式
$$
\int_a^b f(x)dx = \int_m^n f[g(t)]g’(t)dt
$$
上述公式为 定积分的换元积分公式

证明

设F(x)为f(x)的一个原函数,根据牛顿莱布尼茨公式
$$
\int f(x)dx = F(b) - F(a)
$$

$$
\int f[g(t)]g’(t)dt = \int f[g(t)]d[g(t)] = F[g(t)] + C
$$

则 $F[g(t)]$ 是 $f[g(t)]g’(t)$ 的一个原函数,所以有
$$
\int_m^n f[g(t)]g’(t)dt = F[g(n)] - F[g(m)] = \int_a^b f(x)dx
$$

公式

令 $x = g(t)$ ,则 $ \int_a^b f(x)dx = \int_m^n f[g(t)]g’(t)dt $ ,其中 $g(m) = a, g(n) = b$

应用

当求解一些难解的定积分,可以使用换元法,换成其他更容易求解的定积分和定积分上下限

分部积分法

分部积分公式

u(x), v(x) 在区间 [a,b] 上有连续导数,则
$$
(uv)’ = uv’ + u’v
$$
因此
$$
\int_a^b uv’ dx = \int_a^b (uv)’ dx - \int_a^b u’v dx = uv|_a^b - \int_a^b u’v dx
$$

分部积分取值顺序

  • 反三角
  • 对数
  • 冥函数
  • 三角
  • 指数

参考资料