有理函数的不定积分

有理函数

有理函数(或有理分式)是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数
$$
\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_0x^{n-0} + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + … + a_{n-1}x^{n-(n-1)} + a_{m-0}x^{m-m} }{ b_0x^{m-0} + b_1x^{m-1} + b_2x^{m-2} + … + b_{m-1}x^{m-(m-1)} + b_{m-0}x^{m-m} }
$$
其中m和n为非0证书,ai,bj都是实数,且a0b0≠0

真分式

分子 P(x)的次数小于分母Q(x)的次数

假分式

分子 P(x)的次数大于或等于分母Q(x)的次数

定理

任一假分式总可写成一个多项式与一个真分式之和

真分式的分解

对于真分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 当P(x),Q(x)之间没有公因式

多项式Q(x)课分解为若干个一次多项式的乘积以及若干个判别式小于零的二次多项式的乘积

如果Q(x)=Q1(x)Q2(x),其中Q1(x),Q2(x)之间没有公因式,则
$$
\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P_1(x)}{Q_1(x)} + \frac{P_2(x)}{Q_2(x)}
$$

应用

我们在处理有理函数的积分,可以通过上述结论将这些函数分解成多个式子,分别积分

参考资料