牛顿莱布尼茨公式

积分上限函数

函数f(x)∈C[a,b],则对任意属于x∈[a,b],f(x)在[a,x]上可积,由此定义了一个函数
$$
y(x) = \int_a^x f(x)dx, x∈[a,b]
$$
这个函数指的是以a为起点,x为终点,这段区间内,由x=a和x=x,以及f(x)和x轴围成的图形面积

称为 积分上限函数变上限积分函数

x表示积分变量,同时也是积分上限

积分上限函数的导数

积分上限函数在[a,b]上可导,并且其导函数为
$$
y’(x) = \frac{d {\int_a^x f(t)dt} }{dx}, (a<=x<=b)
$$
证明过程请查看参考资料

定理

如果函数f ∈ C[a,b] 则积分上限函数 $y(x) = \int_a^x f(t)dt$ 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数

牛顿莱布尼茨公式

如果函数在[a,b]上有定义,函数F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则有
$$
\int f(x)dx = F(b) - F(a)
$$

证明

因为F(x)和积分上限函数都是f(x)的原函数,则有
$$
F(x) = y(x) + C_0
$$
于是
$$
F(b)-F(a) = y(b) - y(a) = \int_a^b f(x)dx - \int_a^a f(x)dx = \int_a^b f(x)dx
$$

微积分基本公式

牛顿-莱布尼茨公式提供了计算定积分的一个重要方法, 同时还建立了定积分与原函数之间的关系. 因此,也被称为微积分基本公式

参考资料