全微分

前言

在一元方程中,微分指的是在当自变量和因变量都很小的时候,可以假设很小的那个区域中的一个点上的切线为这一小段图形,因为当自变量因变量变化都很小的时候,可以近似看成是一条直线,也就是近似把这个点上的导数值认为是整个一小段直线的斜率

推广到多元方程中,也可以有类似的概念

回顾一元函数微分

对于一元函数
$$
y = f(x)
$$
的微分为
$$
dy = Adx + o(dx) = f’(x)dx
$$
其中 o(dx) 为 dx 的一个高阶无穷小

全微分

根据一元函数微分学中增量与微风的关系得到
$$
f(x+dx,y)-f(x,y)≈f_x(x,y)dx
$$

$$
f(x,y+dy)-f(x,y)≈f_y(x,y)dy
$$

上述两个式子分别是二元函数对 $x、y$ 的偏增量 二元函数对 $x、y$ 的偏微分

全增量

设函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 某邻域内有定义

$P’(x+dx,y+dy)$ 为这领域内任意一点,则称 $f(x+dx,y+dy)-f(x,y)$ 为函数在点 P 对应于自变量增量 $dx、dy$ 的全增量,记作 $dz$,即
$$
dz=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)
$$

定义

设函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 某邻域内有定义

如果函数在点 $(x,y)$ 的全增量
$$
dz=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)
$$
可以表示为
$$
dz=Adx+Bdy+o(p)
$$
其中 A、B 不依赖于 dx 和 dy ,而仅仅与 x、y 有关
$$
p=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}
$$
则称函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 可微分

$Adx+Bdy$ 称为函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 的全微分,记作 $dz$,即
$$
dz=Adx+Bdy
$$

推广

如果函数在区域 $D$ 内各点处处都可微分,则称这函数在 $D$ 内可微分

发现

如果函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 可微分,则函数在该点必定连续

证明

因为
$$
dz=Adx+Bdy+o(p)
$$
存在
$$
\lim\limits_{p \to 0 }{dz} = 0
$$
则有
$$
\lim\limits_{(dx,dy) \to (0,0) }{f(x+dx,y+dy)} = \lim\limits_{p \to 0 }{f(x,y)+dz} = f(x,y)
$$
因此函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 必定连续

可微分的判定方法

如果函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 可微分,则该函数在点 $(x,y)$ 的偏导数必定存在,且该函数在该点的全微分为
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx = \frac{\partial z}{\partial y}dy
$$

微分的叠加原理

二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和,即
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx = \frac{\partial z}{\partial y}dy
$$
称二元函数的微分符合叠加原理

推广

二元以上的多元函数微分也符合叠加原理

定理

如果函数 $z = f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x,y)$ 连续, 则该函数在该点可微分

应用

低误差的指数式子近似值计算(请看参考资料)

参考资料