多元复合函数求导法则

回顾一元复合函数

$$
y=f(u),u=g(x)
$$

求导

$$
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}
$$

微分

$$
dy=f’(u)du=f’(u)g’(x)dx
$$

多元复合函数求导法则

如果函数 $u=g(t),v=h(t)$ 都在点 t 可导,函数 $z=f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$ 具有连续偏导数,则复合函数 $z=f[g(t),h(t)]$ 在对应点t可导,且其导数可用下列公式计算
$$
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}
$$

全导数

上述式子中的
$$
\frac{dz}{dt}
$$
称为全导数

定理

如果 $u=g(x,y)$ 及 $v=h(x,y)$ 都在点 $(x,y)$ 具有 对 x 和 y 的偏导数,且函数 $z=f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$ 具有连续偏导数,则复合函数 $z=f[g(x,y),h(x,y)]$ 在对应点 $(x,y)$ 的两个偏导数存在,且可用下列公式计算
$$
\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}
$$

$$
\frac{dz}{dy}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}
$$

推广

对于自变量为两个以上的多元复合函数,上述法则依然成立

全微分形式不变性

设 $z=f(u,v)$ 具有连续偏导数, 则有全微分
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv
$$
如果 $u=g(x,y)$ 及 $v=h(x,y)$ 都具有连续偏导数,则复合函数 $z=f[g(x,y),h(x,y)]$ 的全微分仍然为
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv
$$

证明

$$
dz = \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv \\
= (\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x})dx +
(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y})dy \\
= \frac{\partial z}{\partial u}(\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy) +
\frac{\partial z}{\partial v}(\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy) \\
= \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv
$$

参考资料