多元函数微分学的几何意义

前言

我们前面学了多元函数以及求导

但是前面接触的多元函数中均为标量,无向量

本节我们要接触包含向量的多元函数,它的导数以及几何意义

一元向量值函数及其导数

设某条空间曲线有如下参数方程
$$
\begin{equation}
\left{
\begin{array}{lr}
x=x(t) \\
y=y(t), \ t∈[a,b] \\
z=z(t)
\end{array}
\right.
\end{equation}
$$
如果记作
$$
r=xi+yj+zk, f(t)=[x(t),y(t),z(t)]
$$

$$
r=r(t),t∈[a,b]
$$
确定了一个映射
$$
f:[a,b] \rightarrow R^3
$$

定义1

设数集 $D 包含于 R$ ,则称 $f : D \rightarrow R^n$ 为一元向量值函数

通常记为

$r=f(t) ,t∈D$

只讨论 $n = 3$ 的情形

将一元向量值函数简称为向量

其中数集 D 称为函数 的定义域, t 称为自变量, r 称为因变量值函数

普通的实值函数称为数量函数

此时向量值函数的图像为空间曲线

定义2

向量值函数 $f(t)$ 当 $t \rightarrow t_0$ 时的极限存在的充分必要条件

是 $f(t)$ 的三个分量函数 $f_1(t), f_2(t), f_3(t)$ 当 $t \rightarrow t_0$ 时的极限都存在,且
$$
\lim\limits_{t \to t_0 }{ f(t) } = [\lim\limits_{t \to t_0 }{ f_1(t) },\lim\limits_{t \to t_0 }{ f_2(t) },\lim\limits_{t \to t_0 }{ f_3(t) }]
$$
只有 $f(x)$ 的三个分量都在 $t_0$ 处连续,整个函数才会在 $t_0$ 处连续

定义3

设向量值函数 f(t) 在 t_0 的某个邻域内有定义,如果
$$
\lim\limits_{t \to 0 }{ \frac{dr}{dt} } = \lim\limits_{t \to 0 }{ \frac{f(t_0+dt)-f(t_0)}{dt} }
$$
存在,则称此极限为向量值函数 $r=f(t)$ 在 $t_0$ 处的导数或导向量,记作
$$
f’(t_0),\frac{dr}{dt}|_{t=t_0}
$$
根据定义2可以得知
$$
f’(t_0)=[f_1’(t_0),f_2’(t_0),f_3’(t_0)]
$$

向量求导运算法则

设 $u(t),v(t)$ 是可导的向量值函数,C 是常向量,c 是任一常数, f(t) 是可导的数量函数

  • $\frac{d}{dt}C=0$
  • $\frac{d}{dt}[cu(t)]=cu’(t)$
  • $\frac{d}{dt}[u(t)±v(t)]=u’(t)±v’(t)$
  • $\frac{d}{dt}[f(t)u(t)]=f’(t)u(t)+f(t)u’(t)$
  • $\frac{d}{dt}[u(t)v(t)]=u’(t)v(t)+u(t)v’(t)$
  • $\frac{d}{dt}[u(t) \times v(t)]=u’(t) \times v(t)+u(t) \times v’(t)$
  • $\frac{d}{dt}u[f(t)]=f’(t)u’[f(t)]$

几何意义

向量值函数 $r=f(t)$ 的导向量的几何意义指的是:向量函数在某个点的导数是其对应空间曲线在该点的切向量,指向与 t 的增长方向一致

参考资料