前言

多元隐函数求导分为一个方程的情形和方程组情形

对于两种情况有不同的解法

一个方程的情形

隐函数存在定理 1

设函数 $F ( x , y )$ 的某一邻域内具有连续的偏导数

且 $F ( x_0 , y_0 ) = 0 , F_y ( x_0 , y_0 ) = 0$

则方程 $F(x,y)=0$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $y=f(x)$

他满足方程
$$
y_0=f(x_0)
$$
并且有如下隐函数求导公式
$$
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}
$$
其中,$F_x,f_y$ 分别为函数 f 对于 x 和 y 的偏导数

证明推导过程

将方程 $F(x,y)=0$ 所确定的函数 $y=f(x)$ 代入该方程得 $y=f(x,f(x))=0$ ,利用复合求导法则在
两边求导得
$$
F_x+F_y \cdot \frac{dy}{dx}=0
$$
移项得到
$$
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}
$$

隐函数的二阶导数

若 $F ( x , y )$ 的二阶偏导数也都连续, 则还可求隐函数的二阶导数
$$
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\partial (-\frac{F_x}{F_y})}{\partial x} + \frac{\partial (-\frac{F_x}{F_y})}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} \\
= -\frac{F_{xx}F_y-F_{yx}F_x}{F_y^2} -\frac{F_{xy}F_y-F_{yy}F_x}{F_y^2}(-\frac{F_x}F_y) \\
= -\frac{F_{xx}F_y^2-2F_{xy}F_xF_y+F_{yy}F_x^2}{F_y^3}
$$
其实就是对一阶隐函数导数的再次求导

隐函数存在定理2

设函数 $F(x,y,z)$ 在点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 的 的某一邻域内具有连续的偏导数且
$$
F ( x_0 , y_0 , z_0 ) = 0 , F_z ( x_0 , y_0 , z_0 ) ≠ 0
$$
则方程 $F(x,y,z)=0$ 在点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 $z=f(x,y)$ ,它满足条件 $z_0=f(x_0,y_0)$ ,并有
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} \\
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}
$$

方程组的情形

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参考资料