方向导数

前言

我们之前研究过偏导数,指的是一个三元函数,对于每一个坐标轴的导数

但是实际情况中,我们还会研究一个三元函数对于任一方向的导数,而不仅仅是坐标轴方向的导数

所以引出了方向导数的概念

讨论

函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 沿某一方向的变化率

设 $l$ 是 $xOy$ 平面上以 $P_0(x_0 ,y_0)$ 为始点的一条射线
$$
e_l=(cos \alpha, cos \beta)
$$
是与 $l$ 同方向的单位向量

射线 $l$ 的参数方程为
$$
x=x_0+tcos \ \alpha, y=y_0+tcos \ \beta
$$

定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0 ,y_0)$ 的某一邻域 $U(P_0)$

$P(x_0+tcos \ \alpha, y_0+tcos \ \beta)$ 为 $l$ 上另一点

且 $P∈U(P_0)$ 如果函数增量
$$
f(x_0 + tcos \ \alpha, y_0 + tcos \ \beta)-f(x_0,y_0)
$$
与 $P$ 到 $P_0$ 的距离 $|PP_0|=t$ 的比值
$$
\frac{f(x_0 + tcos \ \alpha, y_0 + tcos \ \beta)-f(x_0,y_0)}{t}
$$
当 $P$ 沿着 $l$ 趋于 $P_0(t \rightarrow o^+ )$ 时的极限存在,则称此

极限为函数 $f ( x , y )$ 在点 $P0$ 沿方向 $l$ 的方向导数

记作
$$
\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)} =
\lim\limits_{t \to 0^+}{ \frac{f(x_0 + tcos \ \alpha, y_0 + tcos \ \beta)-f(x_0,y_0)}{t} }
$$
是函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0 ,y_0)$ 处沿方向 $l$ 的变化率

定理

如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0 ,y_0)$ 可微分

那么函数在该点沿任一方向 $l$ 的方向导数都存在

且有如下公式成立
$$
\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)} =
f_x(x_0,y_0)cos \ \alpha + f_y(x_0,y_0)cos \ \beta
$$
其中 $cos \ \alpha, cos \ \beta$ 是方向 $l$ 的方向余弦

证明

根据微分定理,有如下公式成立
$$
f(x_0+dx,y_0+dy)-f(x_0,y_0) \\
= f_x(x_0,y_0)dx + f_y(x_0,y_0)dy + o(\sqrt{(dx)^2+(dy)^2})
$$

$$
dx=tcos \ \alpha, dy=tcos \ \beta
$$

$$
\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} = t
$$
当 t 趋于 0 时
$$
\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)} =
\lim\limits_{t \to 0^+}{ \frac{f(x_0 + tcos \ \alpha, y_0 + tcos \ \beta)-f(x_0,y_0)}{t} }
$$
成立

证毕

推广到三元函数

对于三元函数 $f(x,y,z)$ 来说

他在空间中的一点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$

沿着 $e_l=(cos \ \alpha, cos \ \beta, cos \ \gamma )$ 的方向导数为
$$
\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0,z_0)} =
\lim\limits_{t \to 0^+}{ \frac{f(x_0 + tcos \ \alpha, y_0 + tcos \ \beta, z_0 + tcos \ \gamma)-f(x_0,y_0,z_0)}{t} }
$$
如果三元函数 $f(x,y,z)$ 在空间中的一点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 可微分

则函数在该点沿着 $e_l=(cos \ \alpha, cos \ \beta, cos \ \gamma )$ 的方向导数为
$$
\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0,z_0)} =
\lim\limits_{t \to 0^+}{ \frac{f(x_0 + tcos \ \alpha, y_0 + tcos \ \beta, z_0 + tcos \ \gamma)-f(x_0,y_0,z_0)}{t} } \\
= f_x(x_0,y_0,z_0)cos \ \alpha + f_y(x_0,y_0,z_0)cos \ \beta + f_z(x_0,y_0,z_0)cos \ \gamma
$$

参考资料