梯度

定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在平面区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数

则对于每一点 $P_0(x_0 ,y_0)∈D$ 都可确定一个向量
$$
f_x(x_0,y_0)i+f_y(x_0,y_0)j
$$
称为函数 $z=f(x,y)$ 在 $P_0(x_0 ,y_0)$ 的梯度

记作
$$
gradf(x_0,y_0) , \bigtriangledown f(x_0,y_0)
$$
则有
$$
gradf(x_0,y_0) = \bigtriangledown f(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)i+f_y(x_0,y_0)j
$$

向量微分算子(Nabla算子)

$$
\bigtriangledown = \frac{\partial }{\partial x}i + \frac{\partial }{\partial y}j
$$

梯度与方向导数

$$
\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)} =
f_x(x_0,y_0)cos \ \alpha + f_y(x_0,y_0)cos \ \beta = gradf(x_0,y_0) \cdot e_l = |gradf(x_0,y_0)|cos \theta
$$

其中 $\theta$ 是 $gradf(x_0,y_0) , e_l$ 的夹角

梯度的模

方向导数与 $e_l$ 的夹角为 0 的时候取得方向导数 $\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)}$ 的最大值,也就是梯度的模

方向导数与 $e_l$ 的夹角为 π 的时候取得方向导数 $\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)}$ 的最小值,也就是梯度的模的相反数

方向导数与 $e_l$ 的夹角为 π/2 的时候(正交方向)取得方向导数 $\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)}$ 为0

等值线

二元函数 $z=f(x,y)$ 在几何上表示一个曲面

这曲面被平面 $z = c$ (c是常数)所截得的曲线 L 的方程为
$$
\begin{equation}
\left{
\begin{array}{lr}
z=f(x,y) \\
z=c
\end{array}
\right.
\end{equation}
$$
这条曲线 L 在 $xOy$ 面上的投影是一条平面曲线 $L^$ , 它在 $xOy$ 平面上的方程为
$$
f(x,y)=c
$$
称平面曲线 $L^
$ 为函数 $z=f(x,y)$ 的等值线

若 $fx, fy$ 不同时为零

则等值线 $f(x,y)=c$ 上任一点 $P_0(x_0 ,y_0)$ 处的一个单位法向量为
$$
n=\frac{(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))}{\sqrt{f_x^2(x_0,y_0)+f_y^2(x_0,y_0)}}
$$

三元函数的梯度

三元函数的梯度也是这样一个向量

它的方向与取得最大方向导数的方向一致

而它的模为方向导数的最大值

参考资料