多元函数的极值

前言

前面我们学过传统的普通一元函数中,如果函数在某个区间上连续变化,则可能会有上下界

在多元函数中,也会有类似的情况,只不过多元函数的极值,可能会对应好几种不同的自变量组合(可以从三元函数在空间坐标系中的图形来理解,一个空间坐标系中,可能会有好几个高度相同的顶峰)

二元函数的极值定义

设函数 $z=f(x,y)$ 的定义域为 $D$

$P_0(x_0,y_0)$ 为 $D$ 的内点

若存在 $P$ 的某个邻域 $U(P_0)包含于D$

如果对于该邻域内任何异于 $P_0$ 的点 $(x,y)$ 都有
$$
f(x,y)<f(x_0,y_0) \ or \ f(x,y)>f(x_0,y_0)
$$
则称函数在点 $P_0(x_0,y_0)$ 有极大值(或极小值) $f(x_0,y_0)$

极大值、极小值统称为极值

使函数取得极值的点称为极值点

多元函数的极值定义

设 $n$ 元函数 $u=f(P)$ 在点 $P_0$ 的某一邻域内有定义

如果对于该邻域内任何异于 $P_0$ 的点 $P$ 都有
$$
f(P)<f(P_0) \ or \ f(P)>f(P_0)
$$
则称函数 $u=f(P)$ 在点 $P$ 有极大值(或极小值) $f(P_0)$

定理1(必要条件)

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 具 有偏导数

且在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处有极值,则有
$$
f_x(x_0,y_0)=0, f_y(x_0,y_0)=0
$$

证明

驻点

凡是能使
$$
f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0
$$
同时成立的点 $(x_0,y_0)$ 称为函数 $z=f(x,y)$ 的驻点

具有偏导数的函数的极值点必定是驻点

但函数的驻点不一定是极值点

例如 函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处的两个偏导数都是零

但 $(0,0)$ 不是极值点

定理2(充分条件)

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数

又因为 定理1 的必要条件
$$
f_x(x_0,y_0)=0, f_y(x_0,y_0)=0
$$

$$
f_{xx}(x_0,y_0)=A, f_{xy}(x_0,y_0)=B, f_{yy}(x_0,y_0)=C
$$
则函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处是否取得极值的条件如下

  • $AC-B^2>0$ 时具有极值,且当 $A<0$ 时有极大值, $A>0$ 时有极小值
  • $AC-B^2<0$ 时没有极值
  • $AC-B^2=0$ 时可能有极值,有可能没有极值

极值的求法

先解方程组
$$
f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0
$$
求得一切实数解,即可得一切驻点

对于每一个驻点 $(x_0,y_0)$ 求出二阶偏导数的值A、B和C

然后确定 $AC-B^2$ 的符号,根据 定理2 的结论判定 $f(x_0,y_0)$ 是否是极值,是极大值还是极小值

特殊情况

不是驻点也可能是极值点

例如
$$
z=-\sqrt{x^2+y^2}
$$
在点 $(0,0)$ 处有极大值,但是点 $(0,0)$ 不是函数的驻点

极大极小值

如果 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续

则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上必定能取得最大值和最小值

假定函数在 $D$ 上连续、在 $D$ 内可微分且只有有限个驻点

如果函数在 $D$ 的内部取得最大值(最小值)

那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值)

求最大值和最小值的一般方法

将函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 内的所有驻点处的函数值及在 $D$ 的边界上的最大值和最小值相互比较

其中最大的就是最大值,最小的就是最小值

实际问题中如果根据问题的性质,知道函数 $f (x, y)$ 的最大值(最小值)一定在 $D$ 的内部取得

而函数在 $D$ 内 只有一个驻点

那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数 $f ( x, y )$ 在 $D$ 上的最大值(最小值)

条件极值

对自变量有附加条件的极值称为条件极值

例如:求表面积为 $a^2$ 的长方体的最大体积

设长方体的三棱的长为 $x、y、z$

则体积 $V = xyz$

$x、y、z$ 还必须满足附加条件 $2(xy + yz + xz) = a^2$

转化为无条件极值问题

求表面积为 $a^2$ 的长方体的最大体积

由条件
$$
2(xy + yz + xz) = a^2
$$
解得
$$
z=\frac{a^2-2xy}{2(x+y)}
$$
于是得到
$$
V=\frac{xy}{2}(\frac{a^2-2xy}{(x+y)})
$$

取得极值的必要条件

函数 $z=f(x,y)$ 在条件 $g(x,y)=0$ 下取得极值的必要条件

如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 取得所求的极值,则 $g(x_0,y_0)=0$

假定点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内 $z=f(x,y)$ 与 $g(x,y)=0$ 均有连续的一阶偏导数

而 $g_y(x_0,y_0)≠0$

由隐函数存在定理

由方程 $g(x_0,y_0)=0$ 确定一个连续且具有连续导数的函数 $y=h(x)$

将其代入目标函数 $z=f(x,y)$ 得一元函数 $z=f(x,h(x))$

$x=x_0$ 是一元函数 $z=f(x,h(x))$ 的极值点

由取得极值的必要条件 有

$$
\frac{\partial z}{\partial x}|_{x-x_0} = f_x(x_0,y_0)+f_y(x_0,y_0) \frac{dy}{dx}|_{x-x_0} = 0
$$

$$
f_x(x_0,y_0)+f_y(x_0,y_0)\frac{g_x(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)} = 0
$$

设 $\frac{f_y(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)} = -\lambda$ 则函数 $z=f(x,y)$ 在条件 $g(x,y)=0$ 下在 $(x_0,y_0)$ 取得极值的必要条件是
$$
\begin{equation}
\left{
\begin{array}{lr}
f_x(x_0,y_0) + \lambda h_x(x_0,y_0)=0 \\
f_y(x_0,y_0) + \lambda h_y(x_0,y_0)=0 \\
h(x_0,y_0)=0
\end{array}
\right.
\end{equation}
$$

拉格朗日乘数法

要找函数 $z=f(x,y)$ 在条件 $g(x,y)=0$ 下可能取得的极值点,可以先构成辅助函数
$$
L(x,y)=f(x,y)+ \lambda g(x,y)
$$
其中 $\lambda$ 为某一常数,然后解下列方程组
$$
\begin{equation}
\left{
\begin{array}{lr}
L_x(x,y) = f_x(x_0,y_0) + \lambda h_x(x_0,y_0)=0 \\
L_y(x,y) = f_y(x_0,y_0) + \lambda h_y(x_0,y_0)=0 \\
h(x,y)=0
\end{array}
\right.
\end{equation}
$$
由这方程组解出 $x, y$ 及 $\lambda$ 则其中 $(x, y)$ 就是所要求的可 能的极值点

此方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形

参考资料