二重积分

问题

有一种三维物体叫做曲顶柱体,它和普通圆柱体的区别是:顶部的面不是平面,而是一个曲面

我们需要研究如何求得这类物体的体积

曲顶柱体

底是 $xoy$ 面上的闭区域 $D$

侧面是以 $D$ 的边界为准线

母线平行于 $z$ 轴的柱面

顶面是曲面 $z=f(x,y)(f(x,y)>=0)$ 所构成的立体

曲顶柱体的体积

先回顾一下普通柱体的体积

柱体体积=底面积×高

然后看看曲顶柱体的体积求法

首先任意划分闭区域 $D$ ,对于每个 $d \sigma_i$ 上任取 $(x_i, y_i)$ 作近似计算
$$
f(x_i, y_i) \cdot d \sigma_i
$$
我们可以将这这个小区域视为一个普通柱体,然后将整个 D 上的这种小柱体全部相加起来

结果为
$$
\sum_{i=i}^{n} f(x_i, y_i) \cdot d \sigma_i
$$
当底面无限划分,取得极限体积
$$
V= \lim \sum_{i=i}^{n} f(x_i, y_i) \cdot d \sigma_i
$$

解决此类问题的共性

  • 解决问题的步骤相同,都是“分割,近似,求和,逼近”

  • 所求量的结构式相同,都是 $ \lim \sum_{i=i}^{n} f(x_i, y_i) \cdot d \sigma_i$

二重积分的定义

设 $z=f(x,y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数

将闭区域 D 任意分成 $n$ 个小闭区域 $d \sigma_1, d \sigma_2, … , d \sigma_n$

其中 $d \sigma_i$ 代表第 $i$ 个小闭区域,也表示它的面积

在每个 $d \sigma_i$ 上任取一点 $(x_i,y_i)$ 作乘积 $f(x_i, y_i) \cdot d \sigma_i$ 其中 $(i=1,2,…,n)$

并作和
$$
\sum_{i=i}^{n} f(x_i, y_i) \cdot d \sigma_i
$$
如果当各小区域的直径中的最大值 $\lambda \rightarrow 0$ 时

这和的极限总存在

且与闭区域 D 的分法及点 $(x_i,y_i)$ 的取法无关,

那么此极限称为函数 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 上的二重积分

记作
$$
\iint\limits_{D}{f(x,y)d \sigma} = \lim \sum_{i=i}^{n} f(x_i, y_i) \cdot d \sigma_i
$$
其中 D 为积分区域, f(x,y) 为被积函数, $d \sigma_i$ 为被积表达式

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线划分 D ,则有
$$
d \sigma = dxdy
$$
于是有
$$
\iint\limits_{D}{f(x,y)d \sigma} = ^{\int\int}_D f(x,y)dxdy
$$

二重积分的几何意义

  • 若 $f(x,y)>=0$ 则二重积分是曲顶柱体的体积

  • 若 $f(x,y)<=0$ 则二重积分是曲顶柱体的体积的负值

  • 若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上有正有负,则二重积分是曲顶柱体体积的代数和,即 $xoy$ 面上方的体积减去 $xoy$ 面下方的体积

二重积分的性质

线性性质

设 $\alpha, \beta$ 为常数,则有
$$
\iint\limits_{D} [\alpha f(x,y) + \beta f(x,y)] d \sigma =
\alpha \iint\limits_{D} f(x,y) + \alpha \iint\limits_{D} f(x,y) d \sigma
$$

区域可加性质

设闭区域 $D$ 可以分为两个闭区域 $D_1 , D_2$ ,则
$$
\iint\limits_{D} f(x,y)d \sigma = \iint\limits_{D_1} f(x,y)d \sigma + \iint\limits_{D_2} f(x,y)d \sigma
$$

面积性质

$$
\iint\limits_{D} 1d \sigma = \sigma
$$

保不等式性质

若在D上有 $f(x,y)<=g(x,y)$ ,则有
$$
\iint\limits_{D} f(x,y)d \sigma <= \iint\limits_{D} g(x,y)d \sigma
$$
特别地,由于
$$
-|f(x,y)| <= f(x,y) <= |f(x,y)|
$$
所以又有
$$
|\iint\limits_{D} f(x,y)d \sigma| <= \iint\limits_{D} |f(x,y)| d \sigma
$$

估值性质

设 $M$ 与 $m$ 分别是 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的最大值和最小值

$\sigma$ 是 $D$ 的面积,则有
$$
m \sigma <= \iint\limits_{D} f(x,y)d \sigma <= M \sigma
$$

中值定理

设 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上连续

则在 $D$ 上至少存在一点 $(x,y)$

使得
$$
\iint\limits_{D} f(x,y)d \sigma = f(x,y) \sigma
$$

二元函数奇偶性

  • 若 $f(-x,y)=f(x,y)$ ,称 $f(x,y)$ 关于 $x$ 为奇函数
  • 若 $f(x,-y)=-f(x,y)$ ,称 $f(x,y)$ 关于 $y$ 为奇函数
  • 若 $f(-x,y)= f(x,y)$ 或 $f(x,-y)= f(x,y)$ ,称 $f$ 关于 $x$ 或 $y$ 为偶函数

二重积分的对称性定理

积分区域 D 关于 x 轴对称

$$
\iint\limits_{D} f(x,y)d \sigma =

\begin{cases}
0 & f(x,-y)=-f(x,y) \\
2\iint\limits_{D_1} f(x,y)d \sigma & f(x,-y)=f(x,y)
\end{cases}
$$

$D_1$ 为 $D$ 的对称部分中的一半

积分区域 D 关于 y 轴对称

$$
\iint\limits_{D} f(x,y)d \sigma =

\begin{cases}
0 & f(x,-y)=-f(x,y) \\
2\iint\limits_{D_1} f(x,y)d \sigma & f(-x,y)=f(x,y)
\end{cases}
$$

$D_1$ 为 $D$ 的对称部分中的一半

D 关于原点对称

$$
\iint\limits_{D} f(x,y)d \sigma =

\begin{cases}
0 & f(-x,-y)=-f(x,y) \\
2\iint\limits_{D_1} f(x,y)d \sigma & f(-x,-y)=f(x,y)
\end{cases}
$$

$D_1$ 为 $D$ 的对称部分中的一半

D 关于直线 y = x 对称

$$
\iint\limits_{D} f(x,y)d \sigma = \iint\limits_{D} f(y,x)d \sigma
$$

$D_1$ 与 $D_2$ 关于直线 y = x 对称

$$
\iint\limits_{D_1} f(x,y)d \sigma = \iint\limits_{D_2} f(y,x)d \sigma
$$

参考资料