直角坐标系下二重积分的计算方法

前言

由于二重积分,是以一个二维平面 D 区域内的点进行积分,所以我们借助直角坐标系来进行二重积分的计算

二重积分的计算法

二重积分计算需要根据计算区域 D 的不同来选择不同的方法

X型积分区域

条件

$$
{g_1(x)} <= y <= {g_2(x)}, a<=x<=b
$$

其中函数 g1 g2 在区间 [a,b] 上连续

结果

$$
^{\int\int}_D f(x,y)dxdy = \int_a^b dx \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)dy
$$

Y型积分区域

条件

$$
{g_1(x)} <= y <= {g_2(x)}, a<=x<=b
$$

其中函数 h1 h2 在区间 [c,d] 上连续

结果

$$
^{\int\int}_D f(x,y)dxdy = \int_c^d dy \int_{h_1(x)}^{h_2(x)} f(x,y)dx
$$

非X非Y型区域

利用区域可加性质计算

设闭区域 $D$ 可以分为两个闭区域 $D_1 , D_2$ ,则
$$
^{\int\int}D f(x,y)d \sigma = ^{\int\int}{D_1} f(x,y)d \sigma = ^{\int\int}_{D_2} f(x,y)d \sigma
$$

即是X型又是Y型区域

$$
^{\int\int}_D f(x,y)dxdy = \int_a^b dx \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)dy = ^{\int\int}_D f(x,y)dxdy = \int_c^d dy \int_{h_1(x)}^{h_2(x)} f(x,y)dx
$$

二重积分化为二次积分确定积分限的方法

X-型

任取一线穿过区域,上下曲线定 y 限,用域外两线夹区域,左右直线定 x 限

Y-型

任取一线穿过区域,左右曲线定 x 限,用域外两线夹区域,上下直线定 y 限

参考资料