极坐标系下二重积分的计算方法

前言

当计算的二重积分的范围是一个类似于圆形的图案,例如是如下表达式对应的范围
$$
D:1<=x^2+y^2<=4
$$
我们该怎么计算呢?

我们可以根据定积分的区域可加性性质来处理
$$
^{\int\int}D f(x,y)d \sigma = ^{\int\int}{D_1} f(x,y)d \sigma + ^{\int\int}_{D_2} f(x,y)d \sigma + ^{\int\int}_{D_3} f(x,y)d \sigma + ^{\int\int}_{D_4} f(x,y)d \sigma
$$
但是这样计算十分麻烦,如果二重积分的积分区域使用极坐标来表示比较简单,那么我们可以考虑在极坐标系下计算二重积分

问题

计算
$$
I=^{\int\int}_D f(x,y)d \sigma
$$
可以可以用一系列的同心圆和一系列的设想划分 D

此时
$$
d \sigma_i = \frac{1}{2}(\rho_i + d\rho_i)^2d\theta_i - \frac{1}{2}\rho_i^2d\theta_i = \frac{\rho_i+(\rho_i+d\rho_i)}{2}d\rho_i d\theta
$$

参考资料