三重积分

前言

存在一个非均匀物体,它在空间直角坐标系中占有一定的空间区域 $\Omega$

现在我们已知这个物体的体密度在空间直角坐标系中 $\rho(x,y,z)$ ,而且它还是 $\Omega$ 上的连续函数

则如何求该物体的质量呢?

我们可以使用如下步骤来求得

  • 分割:将空间区域 $\Omega$ 分割成 n 个很小的闭区域 $dv_n$
  • 近似:在每个闭区域上取一点 $(x_i,y_i,z_i)$ ,则我们可以近似认为这个区域的体积为 $\rho(x_i,y_i,z_i)d \cdot v_n$
  • 求和:然后把所有这个区域上的小体积都计算并且相加起来求和
  • 逼近:把这个小区域 $dv_n$ 逼近为0,则求出了整个物体的体积

定义

设 f(x,y,z) 是有界闭区域 $\Omega$ 上的有界函数.将 闭区域 $\Omega$ 任意分成 n 个小闭区域: $dv_1,dv_2,..,dv_n$

其中 $dv_i$ 也代表第 i 个小块的体积. 在每个 $dv_i$ 上任取一点 $(x_i,y_i,z_i)$

作乘积
$$
f(x_i,y_i,z_i) \cdot dv_i (i=1,2,…,n)
$$
然后求和
$$
\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i) \cdot dv_i
$$
设 \lambda 是各小区域的直径中的最大值

如果
$$
\lim\limits_{\lambda \to 0 }{ \sum_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i) \cdot dv_i }
$$
这个极限存在,则称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在区域 $\Omega$ 上的三重积分 ,记作
$$
\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)dv
$$

$$
\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)dv = \lim\limits_{\lambda \to 0 }{ \sum_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i) \cdot dv_i }
$$
其中

  • $f(x,y,z)$ 被积函数
  • $f(x,y,z)dv$ 被积表达式
  • $dv$ 体积元素
  • $\Omega$ 积分区域
  • $x,y,z$ 积分变量
  • $\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i) \cdot dv_i$ 积分和

物理意义

表示占有空间区域 $\Omega$ 的物体,在 $(x,y,z)$ 处具有密度 $f(x,y,z)$ 则其质量为 $\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)dv$

如果在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线划分 $\Omega$ 则有
$$
dv=dx dy dz
$$
推导出
$$
\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)dv = \iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)dxdydz
$$
$dxdydz$ 为直角系下的体积元素

性质

性质与二重积分类似

线性性质

区域可加性质

体积性质

$$
\iiint\limits_{\Omega} 1dv = V
$$

保不等式性质

介值定理

中值定理

对称性定理

积分区域关于 xoy 坐标面对称

$$
\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)dv =

\begin{cases}
0 & f(x,y,-z)=-f(x,y,z) \\
2\iint\limits_{\Omega_1} f(x,y,z)dv & f(x,y,-z)=f(x,y,z)
\end{cases}
$$

$\Omega_1$ 是 $\Omega$ 的对称部分中的一部分

积分区域关于 yoz 坐标面对称

$$
\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)dv =

\begin{cases}
0 & f(-x,y,z)=-f(x,y,z) \\
2\iint\limits_{\Omega_1} f(x,y,z)dv & f(-x,y,z)=f(x,y,z)
\end{cases}
$$

$\Omega_1$ 是 $\Omega$ 的对称部分中的一部分

积分区域关于 xoz 坐标面对称

$$
\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)dv =

\begin{cases}
0 & f(x,-y,z)=-f(x,y,z) \\
2\iint\limits_{\Omega_1} f(x,y,z)dv & f(x,-y,z)=f(x,y,z)
\end{cases}
$$

$\Omega_1$ 是 $\Omega$ 的对称部分中的一部分

积分区域关于原点对称

$$
\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)dv =

\begin{cases}
0 & f(-x,-y,-z)=-f(x,y,z) \\
2\iint\limits_{\Omega_1} f(x,y,z)dv & f(-x,-y,-z)=f(x,y,z)
\end{cases}
$$

$\Omega_1$ 是 $\Omega$ 的对称部分中的一部分

积分区域具有轮换对称

$$
\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z)dv =
\iiint\limits_{\Omega} f(y,z,x)dv =
\iiint\limits_{\Omega} f(z,x,y)dv
$$

参考资料