对弧长的曲线积分

前言

在工业设计中,我们需要求一个曲形构件所占的位置在 $xOy$ 面内的一段曲线弧 $L$ 上的质量

已知曲线形构件在点 $(x,y)$ 处的线密度为 $\mu(x,y)$

我们该如何求得这个曲形构件的质量呢

仍然可以使用三重积分中求非均匀物体质量的方法来求得

方法如下

  • 分割: $M_1,M2,…,M_{n-1} \rightarrow ds_i$

  • 乘积: $dM_i ≈ \mu(x_i,y_i)ds_i$

  • 求和: $M≈ \sum_{i=1}^{n} f(x_i,y_i)ds_i $

$$
\lambda = max(ds_1,ds_2,…,ds_n) \rightarrow 0
$$

取极限
$$
M= \lim\limits_{\lambda \to 0 }{ \sum_{i=1}^{n} f(x_i,y_i)ds_i }
$$

定义

设 $L$ 为 $xOy$ 面内的一条光滑曲线弧

函数 $f (x, y)$ 在 $L$ 上有界

将 $L$ 任意分成 $n$ 个弧段 $ds_1,ds_2,…,ds_n$

并用 $ds_i$ 表示第 $i$ 段的弧长

在每一弧段 $ds_i$ 上任取一点 $(x_i,y_i)$

求和等于
$$
\sum_{i=1}^{n} \rho(x_i,y_i)ds_i
$$

然后令
$$
\lambda = max(ds_1,ds_2,…,ds_n)
$$

$$
\lambda \rightarrow 0
$$
如果这个时候极限和
$$
\lim\limits_{\lambda \to 0 }{ \sum_{i=1}^{n} \rho(x_i,y_i)ds_i }
$$
总是存在

且与曲线弧 $L$ 是如何分割,以及点 $(x_i,y_i)$ 是如何取得无关

则称此极限为函数 $f (x, y)$ 在 $L$ 上对弧长曲线积分第一类曲线积分

我们把这个极限记作
$$
\int_L f(x,y)ds = \lim\limits_{\lambda \to 0 }{ \sum_{i=1}^{n} f(x_i,y_i)ds_i }
$$
其中 $f (x, y)$ 叫做被积函数

$L$ 叫做积分弧段

曲线积分的存在性

如果 $f (x, y)$ 连续,则 $\int_L f(x,y)ds$ 存在

曲线积分的物理意义

曲线构件的质量 $m = \int_L \mu(x,y)ds$

推广到三元函数

$$
\int_{\Gamma} f(x,y,z)ds = \lim\limits_{\lambda \to 0 }{ \sum_{i=1}^{n} f(x_i,y_i,z_i)ds_i }
$$

性质

区域可加性

积分弧段可加性

若积分弧段 L 可分成光滑曲线弧 L1 和 L2

则有
$$
\int_L f(x,y)ds = \int_{L_1} f(x,y)ds + \int_{L_2} f(x,y)ds
$$

保不等式性质

计算方法

定理

设 $f (x, y)$ 在曲线弧 $L$ 上有定义且连续

则 $L$ 的参数方程为
$$
\begin{cases}
x=g(t) & (\alpha<=t<=\beta) \\
y=h(t) & (\alpha<=t<=\beta)
\end{cases}
$$
当 $g(t),h(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具有一阶连续导数


$$
g^2(t)+h^2(t) ≠ 0
$$
则曲线积分存在,且满足如下关系
$$
\int_L f(x,y)ds = \int_{\alpha}^{\beta} f[g(t),h(t)]\sqrt{g’^2(t)+h’^2(t)}dt
$$
这个公式本质上是使用勾股定理,无限微分长和宽得到的

注意

定积分的下限 $\alpha$ 一定要小于上限 $\beta$

特例

当曲线 L 的方程为非参数方程 $y=h(x),(a<=x<=b)$ 的时候,则我们可以改写为参数方程
$$
\begin{cases}
x=x & (\alpha<=t<=\beta) \\
y=h(t) & (\alpha<=t<=\beta)
\end{cases}
$$
然后使用如下公式求得
$$
\int_L f(x,y)ds = \int_a^b f[x,h(t)]\sqrt{1+h’^2(t)}dt
$$

当曲线 L 的方程为非参数方程 $x=g(x),(a<=x<=b)$ 的时候,则我们可以改写为参数方程
$$
\begin{cases}
x=g(x) & (\alpha<=t<=\beta) \\
y=y & (\alpha<=t<=\beta)
\end{cases}
$$
然后使用如下公式求得
$$
\int_L f(x,y)ds = \int_a^b f[g(t),y]\sqrt{g’^2(t)+1}dt
$$

如果曲线 $\Gamma$ 的方程为
$$
\begin{cases}
x=g(t) \\
x=h(t) \\
y=i(t)
\end{cases}
$$

$$
\int_{\Gamma} f(x,y,z)ds = \int_{\alpha}^{\beta} f[g(t),h(t),i(t)]\sqrt{g’^2(t)+h’^2(t)+i’^2(t)}dt
$$

参考资料