格林公式

前言

我们是否有办法得知某个不规则的平面图形的面积,当围成这个平面图形的曲线函数是已知的情况下?

单连通与复连通区域

D 为平面区域

如果 D 内任一闭曲线所围的部分都属于 D

则称 D 为平面单连通区域

否则称为复连通区域

理解

也就是说,单连通区域内部没有洞(空心),复连通区域内有洞(空心)

边界曲线的方向

围成一个封闭的平面图形的曲线,我们需要对它定义一个正方向来方便我们后续问题讨论

因此我们定义如下

对平面区域 D 的边界曲线 L

规定 L 的正向如下

当观察者沿 L 的这个方向行走时

D 内在他近处的那一部分总在他的左边

理解

也就是说,对于一个没有洞的单连通区域,围成它的曲线 L 的正方向为逆时针方向

顺着逆时针的方向看过去,内部的封闭图形区域 D 永远在左边

格林公式

封闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成

函数 $P(x,y), Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数

则有如下结论成立
$$
\iint \limits_D (\frac{\partial q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy =
\oint_L Pdx + Qdy
$$

证明

我们来看下面这个图形

image-20190101171330419

设区域 $D$ 满足如下关系
$$
D={ (x,y)|g_1(x)<=y<=g_2(x), a<=x<=b }
$$
因为 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 连续

所以
$$
\iint \limits_D \frac{\partial P}{\partial y} dxdy =
\int_a^b { \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} dy } dx =
\int_a^b { P[x,g_2(x)] - P[x,g_1(x)] } dx
$$
围成这个图形的四条边的曲线积分总和为(因为 $L_3$ 和 $L_4$ 在 $x$ 上的积分为 0 )所以可以直接排除
$$
\oint_{L} Pdx = \oint_{L_1} + \oint_{L_2} + 0 + 0 \\
= \int_a^b P[x,g_1(x)] dx + \int_b^a P[x,g_2(x)] dx \\
= \int_a^b { P[x,g_1(x)] - P[x,g_2(x)] } dx \\
= -\iint \limits_D \frac{\partial P}{\partial y} dxdy
$$

应用

计算平面区域面积

设区域 D 的边界曲线为 L

取 $P=-y, Q=x$

则有
$$
\int_a^b { P[x,g_2(x)] - P[x,g_1(x)] } dx =
\int_a^b (x + y) dx
$$

曲线积分与路径无关

定理

设开区域 $G$ 是一个单连通域

函数 $P(x,y),Q(x,y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数

则曲线积分
$$
\int_L Pdx + Qdy
$$
在 $G$ 内与路径无关(或沿 $G$ 内任意闭曲线的曲线积分为零) 的充分必要条件是

等式
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}
$$
在 $G$ 内恒成立

证明

可以通过格林公式来证明

格林公式的条件

  • 区域 $G$ 是单连通区域
  • 函数 $P(x, y),Q(x, y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数,破坏函数 $P , Q$ 及 $\frac{\partial P}{\partial y} , \frac{\partial Q}{\partial x}$ 连续性的点称为奇点

二阶函数的全微分求积

参考资料