对面积的曲面积分

前言

当我们需要求一个曲面的质量,且该曲面在不同点上的密度并不一样(面密度不均匀)

但是我们已经得知该曲面在 x y z 坐标下的面密度满足函数 $\rho (x,y,z)$

则该曲面的质量为
$$
M = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=0}^{n} \rho(x_i,y_i,z_i)dS_i
$$
其中 $S_i$ 为各小块曲面的面积, $\lambda$ 为各小块曲面直径的最大值

定义

设曲面 $\sum$ 是光滑的 $f(x,y,z)$ 在 $\sum$ 上有界

把 $\sum$ 任意分成 $n$ 小块 $dS_1,dS_2,…,dS_n$ ( $dS_i$ 也代表曲面的面积)

在 $dS_i$ 上任取一点 $(x_i,y_i,z_i)$

如果当各小块曲面的直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时

下列极限总存在
$$
M = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=0}^{n} \rho(x_i,y_i,z_i)dS_i
$$
则称此极限为函数 $f (x, y, z)$ 在曲面 $\sum$ 上对面积的曲面积分第一类曲面积分

记作
$$
\iint\limits_{\sum} f(x,y,z)dS = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=0}^{n} \rho(x_i,y_i,z_i)dS_i
$$
其中

被积函数 $f (x, y, z)$

积分曲面 $\sum$

性质

存在性

当 $f (x, y, z)$ 在光滑曲面 $\sum$ 上连续时,对面积的曲面积分是存在的

区域可加性

计算方法

设曲面 $\sum$ 由方程 $z = z(x,y)$ 给出

$\sum$ 在 $xOy$ 面上的投影区域为 $D_{xy}$

被积函数 $f(x,y,z)$ 在 $\sum$ 上连续

则有如下公式
$$
\iint\limits_{\sum} f(x,y,z)dS = \iint\limits_{D_{xy}} f[x,y,z(x,y)] \sqrt{1 + z_x^2(x,y) + z_y^2(x,y) } dxdy
$$

参考资料