对坐标的曲面积分

曲面的侧

一张纸会有两个面,同理我们可以得出结论:

一个曲面,通常会有两个侧面

分别为内外侧,左右侧,上下侧

但是也有一种特殊情况:莫比乌斯带

有向曲面

指定了侧的曲面

指定方法

$cos \ \alpha, cos \ \beta, cos \ \gamma $

  • $cos \ \alpha $ > 0 前侧 < 0 后侧
  • $cos \ \beta $ > 0 右侧 < 0 左侧
  • $cos \ \gamma $ > 0 上侧 < 0 下侧

封闭曲面只有内外侧

方向通过相量表示

有向曲面法向量

$ \sum : z=z(x,y) $

曲面为上下侧

上侧

法向量为
$$
\overrightarrow{n} = (-z_x,-z_y,1)
$$

下侧

法向量为
$$
\overrightarrow{n} = (z_x,z_y,-1)
$$

$ \sum : y=y(x,z) $

曲面为左右侧

右侧

法向量为
$$
\overrightarrow{n} = (-y_x,1,-y_z)
$$

左侧

法向量为
$$
\overrightarrow{n} = (y_x,-1,y_z)
$$

$ \sum : x=z(y,z) $

曲面为前后侧

前侧

法向量为
$$
\overrightarrow{n} = (1,-x_y,-x_z)
$$

后侧

法向量为
$$
\overrightarrow{n} = (-1,x_y,x_z)
$$

有向曲线投影面积

设 $\sum$ 是有向曲面

在 $\sum$ 上取一小块曲面 $dS$

把 $dS$ 投影到 $xOy$ 面上得一投影区域面积记为 $(d \sigma)_{xy}$

$dS$ 在 $xOy$ 面上的投影 $(d \sigma){xy}$ 为
$$
\begin{equation}
\left{
\begin{array}{lr}
(d \sigma)
{xy}, cos \ \gamma > 0 \\
-(d \sigma)_{xy}, cos \ \gamma < 0 \\
0 , cos \ \gamma = 0
\end{array}
\right.
\end{equation}
$$

流向直面一侧的流量

稳定流动,不可压缩流体的速度场由向量 v 给出
$$
\overrightarrow{v} = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))
$$
$\sum $ 是速度场中的一片有向曲面

三个函数 P Q R 都在这个曲面上连续

求单位时间内通过指定侧的流体质量,也就是流量

当面是一个直面的时候,他的流量其实就是常数 A 乘以这个流体速度场在面的法线向量上的高

假设速度场和法线向量的角度为 $\theta$

则流量为
$$
A|\overrightarrow{v}| = cos \ \theta = A \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n}
$$

流向曲面一侧的流量

对于曲面一侧的流量,我们可以将曲面无限微分成多个小直面来计算,然后最后求和

假设每个点上的流量为
$$
\overrightarrow{v_i} = \overrightarrow{v}(x_i,y_i,z_i) = P(x_i,y_i,z_i)\overrightarrow{i} + Q(x_i,y_i,z_i)\overrightarrow{j} + R(x_i,y_i,z_i)\overrightarrow{k}
$$
则总流量约等于
$$
\sum_{i=1}^n v_i \cdot n_i dS_i =
\sum_{i=1}^n [ P(x_i,y_i,z_i)cos \ \alpha_i + Q(x_i,y_i,z_i)cos \ \beta_i + R(x_i,y_i,z_i)cos \ \gamma_i ] dS_i
$$

对坐标的曲面积分

设 $\sum $ 为光滑的有向曲面

函数 $R(x,y,z)$ 在 $\sum $ 上有界

把 $\sum $ 任意分成 $n$ 块小曲面 $dS_i$ ( $dS_i$ 也代表第 $i$ 小块曲面面积)

在 $xOy$ 面上的投影为 $(dS_i)_{xy}$ ,$(x_i,y_i,z_i)$ 是 $dS_i$ 上任意一点

如果当各小块曲面的直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时

下列极限总存在
$$
\lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n R(x_i,y_i,z_i)(dS_i)_{xy}
$$
称此极限为函数 $R(x,y,z)$ 在有向曲面 $\sum $ 上对坐标 $x,y$ 的曲面积分

记作
$$
\iint\limits_{\sum} R(x,y,z)dxdy
$$
被积函数 $R(x,y,z)$

积分曲面 $\sum $

推广

类似的可以推广到 $dydz$ 对坐标 $y,z$ 的曲面积分

或者 推广到 $dzdx$ 对坐标 $z,x$ 的曲面积分

以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分

简记

$$
\iint\limits_{\sum} R(x,y,z)dydz + \iint\limits_{\sum} R(x,y,z)dzdx + \iint\limits_{\sum} R(x,y,z)dxdy =
\iint\limits_{\sum}R(x,y,z)dydz + R(x,y,z)dzdx + R(x,y,z)dxdy
$$

上述表达式表达的也是曲面一侧的流量

计算方法

设积分曲面 $\sum $ 由方程 $z=z(x,y)$ 给出的

在 $xOy$ 面上的投影区域为 $D_{xy}$

函数 $z=z(x,y)$ 在 $D_{xy}$ 上具有一阶连续偏导数

被积函数 $R(x,y,z)$ 在 $\sum $ 上连续
$$
\iint\limits_{\sum} R(x,y,z)dxdy = ±\iint\limits_{D_{xy}} R[x,y,z(x,y)]dxdy
$$
当 $\sum $ 取上侧为正,下侧为负

其余两种情况也可以以此类推

参考资料