常数项级数

前言

最早以前计算圆形的面积,采取的是割圆术

计算半径为 $R$ 的圆形面积 $A$

作圆的内接正六边形,正六边形的面积为 $a_1$

圆的内接正十二边形的面积为 $a_1 + a_2$

圆的内接正二十四边形的面积为 $a_1 + a_2 + a_3$

内接正 $3 \cdot 2^n$ 边形的面积为 $a_1 + a_2 + a_3+ … + a_n $

则有
$$
A ≈ a_1 + a_2 + a_3+ … + a_n
$$

$$
A= \lim\limits_{n \to \infty}(a_1 + a_2 + a_3+ … + a_n)
$$

定义

如果给定一个数列
$$
u_1,u_2,u_3,…,u_n,…,
$$
那么由这数列构成的表达式
$$
u_1+u_2+u_3+…+u_n+…
$$
叫做(常数项)无穷级数,简称(常数项)级数,记住
$$
\sum_{i=1}^{\infty}u_i
$$
也就是
$$
\sum_{i=1}^{\infty}u_i = u_1+u_2+u_3+…+u_n+…
$$
第 $n$ 项 $u_n$ 叫做级数的一般项

部分和

级数的前 $n$ 项的和
$$
s_n = u_1+u_2+u_3+…+u_n = \sum_{i=1}^{\infty}u_i
$$
称为级数的部分和

级数的部分和数列为 $ { s_n } $

其中

  • $s_1 = u_1$
  • $s_2 = u_1+u_2$
  • $s_n = u_1+u_2+…+u_n$

收敛与发散

如果级数 $\sum_{i=1}^{\infty}u_i$ 的部分和数列 $ { s_n } $ 有极限 $s$


$$
\lim\limits_{n \to \infty} s_n = s
$$
则称无穷级数收敛

极限 $s$ 叫做这个级数的和,并写成
$$
s = u_1+u_2+u_3+…+u_n+…
$$
如果这个极限不存在(等于无穷),则称级数 $\sum_{i=1}^{\infty}u_i$ 发散

余项

当级数收敛时

其部分和 $s_n$ 是级数的和 $s$ 的近似值

它们之间的差值
$$
r_n = s-s_n = u_{n+1} + u_{n+2} + …
$$
叫做级数的余项

用近似值 $s_n$ 代替和 $s$ 所产生的误差是 $|r_n |$

部分和数列的级数

级数与数列极限有着紧密的联系

给定级数 $\sum_{i=1}^{\infty}u_i$

就会有部分和数列,这个数列是由每一个数列的部分和组成
$$
{ s_n = \sum_{i=1}^n u_i }
$$
反之,给定数列 ${ s_n }$ 就有以 ${ s_n }$ 为部分和数列的级数

因为
$$
s_1 = u_1 \\
u_i = s_i-s_{i-1}
$$
所以有
$$
\sum_{i=1}^{\infty}u_i = s_1 + \sum_{i=2}^{\infty}{(s_i-s_{i=1})}
= s_1 + (s_2-s_1) + … + (s_i-s_{i-1}) + …
$$
通过定义可以得知 级数 和它对应的部分和数列的级数 同时收敛或者发散

且在收敛时有
$$
\sum_{i=1}^n u_i = \lim\limits_{n \to \infty} s_n = \lim\limits_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n u_i
$$

等比级数

等比级数又叫做几何级数

它有如下形式
$$
\sum_{i=0}^{\infty}aq^i = a+aq+aq^2+…+aq^i+…
$$
其中 a≠0

q 叫做级数的公比

敛散性

|q|<1 时

$$
\lim\limits_{n \to \infty} q^n = 0
$$

从而
$$
\lim\limits_{n \to \infty} s_n = \frac{a}{1-q}
$$
这时级数收敛

|q|>1 时

$$
\lim\limits_{n \to \infty} q^n = \infty
$$

从而
$$
\lim\limits_{n \to \infty} s_n = \infty
$$
这时级数发散

|q|=1 时

$$
s_n = na
$$

从而
$$
\lim\limits_{n \to \infty} s_n = \infty
$$
这时级数发散

|q|=-1 时

$$
\sum_{i=0}^{\infty}aq^i = a+aq+aq^2+…+aq^i+…
$$

$s_n$ 分两种情况讨论

当 $s_n=a$ 时 n 为奇数,这时候极限不存在

当 $s_n=0$ 时 n 为偶数,这时候级数本身发散
$$
\lim\limits_{n \to \infty} s_n = \infty
$$
这时级数发散

性质

性质1

如果级数 $\sum_{i=1}^{\infty}u_n$ 收敛于和 s

则级数 $\sum_{i=1}^{\infty}ku_n$ 也收敛,且收敛和为 $ks$

级数的每一项同乘以一个不为零的常数,收敛性不变

证明方式通过极限乘积性质来证明

性质2

如果级数 $\sum_{i=1}^{\infty}u_n$ 和 $\sum_{i=1}^{\infty}v_n$ 收敛于和 $s$ 和 $t$

则级数 $\sum_{i=1}^{\infty}(u_n±v_n)$ 也收敛,且收敛和为 $s±t$

两个收敛级数可以逐项相加减

证明过程通过展开级数,加法结合律来证明

性质3

在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性

证明

将级数 $\sum_{i=1}^{\infty}u_n$ 的前 $k$ 项去掉

得到级数 $\sum_{i=1}^{\infty}u_{n+k}$

新级数的部分和为
$$
t_n = u_{k+1} + u_{k+2} + … + u_{k+n} = s_{k+n} - s_k
$$
其中 $s_{k+n}$ 是原来级数的前 $k+n$ 项和

由于这里 $s_k$ 本身是一个常数,而极限减去一个常数,不会影响极限的存在性

所以当 $n$ 趋于无穷时

$t_n$ 和 $s_{k+n}$ 同时有或者没有极限

性质4

如果 $\sum_{i=1}^{\infty}u_n$ 收敛,则对这个级数的项任意加括号后所成的级数
$$
(u_1+…+u_n)+(u_{n_1+1}+…+u_{n_2})+…+(u_{n_{k-1}+1}+…+u_{n_k})+…
$$
仍然收敛,且其和不变


$$
A_1 = u_1 + … + u_{n_1} = S_{n_1} \\
A_2 = (u_1 + … + u_{n_1}) + (u_{n_1+1} + … + u_{n_2}) \\
… \\
A_k = (u_1 + … + u_{n_1}) + (u_{n_1+1} + … + u_{n_2}) + … + (u_{n_{k-1}+1} + … + u_{n_k}) = S_{n_k}
$$
数列 ${ A_k }$ 是数列 ${ S_n }$ 的一个子数列

由于 ${ S_n }$ 收敛,所以 ${ A_k }$ 必定收敛

且有
$$
\lim\limits_{k \to \infty} A_k = \lim\limits_{k \to \infty} S_n
$$
即加括号后所成的级数收敛,且其和不变

注意

如果加括号后所成的级数收敛,不能断定原级数也收敛,也就是性质4反过来不成立

例如
$$
(1-1)+(1-1)+…
$$
收敛于 0

但是
$$
1-1+1-1+…
$$
却是发散的(因为当 n 趋于无穷的时候,极限为 0 或者 1 之间不确定)

推论

如果加括号后所成的级数发散,则原级数发散

性质5

级数收敛的必要条件

如果级数收敛,则 $u_n$ 当 n 趋于无穷时,极限为 $0$ ,也就是 $u_{\infty}=0$

证明

$$
\lim\limits_{n \to \infty}u_n = \lim\limits_{n \to \infty}{(s_n-s_{n-1})} = s-s=0
$$

性质6

如果级数的一般项不趋于 0 ,则该级数必定发散

但是他不是级数收敛的充分条件

也就是反过来一般项趋于 0 ,但是级数仍然可能发散,例如调和级数

证明调和级数发散

使用反证法

假设 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 收敛,设他的部分和为 s

则有
$$
\lim\limits_{n \to \infty}s_n = \lim\limits_{n \to \infty}s_{2n} = s
$$
则这两个极限相减等于 0
$$
\lim\limits_{n \to \infty} {s_{2n} - s_n} = s - s = 0
$$
但是如果我们手动展开两个部分和然后相减会得到如下结果

由于 n 一定是一个大于等于 1 的数字,所以下列差一定是大于 1/2 的
$$
s_{2n} - s_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + … + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2}
$$
和原始条件不符合,所以证明原始条件错误

总结

  • 级数收敛的充分必要条件是:其部分和数列 ${ S_n }$ 的极限存在
  • 级数收敛的必要条件是:级数一般项趋于 0 。但是反过来,仅仅级数一般项趋于 0 并不能断定级数收敛。如果一般项不趋于 0 可以断定级数发散。

参考资料