常数项级数之正项级数审敛法.md

正项级数

一个级数中各项都是正数或者 0 ,这样的级数叫做正项级数
$$
u_n >= 0(n=1,2,…)
$$
一个正项级数的部分和为 $s_n$

则数列 ${ s_n }$ 是一个单调增加的数列
$$
s_1 <= s_2 <= … <= s_n <= …
$$

比较审敛法

设有两个正项级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n , \sum_{n=1}^{\infty} v_n
$$

$$
u_n <= v_n(n=1,2,…)
$$
如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n $ 收敛

则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n $ 收敛

反之

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n $ 发散

则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n $ 发散

证明

设两个正项级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n , \sum_{n=1}^{\infty} v_n
$$
的和数列分别为
$$
s_n, t_n
$$
通过比较两个部分和数列,因为有条件
$$
u_n <= v_n(n=1,2,…)
$$
所以
$$
s_n = u_1 + u_2 + … + u_n <= v_1 + v_2 + … + v_n <= t_n (n=1,2,…)
$$
当 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛于和 $t_n$ 的时候,由于 $s_n$ 更小,所以肯定也有界

从而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛

用反证法证明另一个结论

设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散

若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛

将有级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 也收敛,与假设矛盾

所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 必定发散

推论

设存在两个正项级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n , \sum_{n=1}^{\infty} v_n
$$
如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n $ 收敛

且存在正整数 N

使得当
$$
u_n >= N
$$
时有
$$
u_k <= kv_n (k>0)
$$
成立

则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛

反之

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n $ 发散

且存在正整数 N

使得当
$$
u_n >= kv_n (k>0)
$$
则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散

p级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = 1 + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \frac{1}{4^p} + … + \frac{1}{n^p} + …
$$

其中 常数 $p > 0$

p <= 1

因为
$$
\frac{1}{n^p} >= \frac{1}{n}
$$

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
$$
发散

所以
$$
p <= 1
$$
时发散

p > 1


$$
p > 1
$$
时收敛

证明过程略

总结

对一给定的正项级数

如果要用比较审敛法来判别其收敛性,则首先要通过观察

找到另一个已知收敛性的级数作为比较的基准

将给定的正项级数的一般项与基准级数的一般项进行比较

建立这两个一般项之间的不等式

极限形式

设两个正项级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n , \sum_{n=1}^{\infty} v_n
$$
如果
$$
\lim\limits_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = l (0 <= l <= +\infty)
$$
且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛

则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛

如果
$$
\lim\limits_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = l > 0
$$
或者
$$
\lim\limits_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = +\infty
$$
且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散

则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散

等价无穷


$$
n \to \infty
$$

如果 $u_n$ 是与 $v_n$ 同价或者是比 $v_n$ 高阶的无穷小

而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛,则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛

如果 $u_n$ 是与 $v_n$ 同价或者是比 $v_n$ 低阶的无穷小

而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散,则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散

比值审敛法(达朗贝尔判别法(d’ Alembert))

设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为正项级数

如果
$$
\lim\limits_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho
$$
则当 $\rho < 1$ 时级数收敛

当 $\rho > 1 $ 或者 $\rho= \infty $ 时级数收敛

当 $\rho= 1 $ 时级数可能收敛也可能发散,此时该判别法失效

根值审敛法(柯西判别法)

设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为正项级数

如果
$$
\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho
$$
则当 $\rho < 1$ 时级数收敛

当 $\rho > 1 $ 或者 $\rho= \infty $ 时级数收敛

当 $\rho= 1 $ 时级数可能收敛也可能发散,此时该判别法失效

参考资料