常数项级数之交错级数审敛法

交错级数

各项是正负交错的级数

形如如下形式
$$
u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + …
$$

$$
-u_1 + u_2 - u_3 + u_4 - …
$$
其中 $u_1, u_2, …$ 都是正数

记作

$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n \ (u_n>0)
$$

$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}u_n \ (u_n>0)
$$

例子

$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}{\frac{1}{n}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + … + (-1)^{n-1}{\frac{1}{n}} + …
$$

$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}{\frac{\ln{n}}{n}} = - \frac{\ln{2}}{2} + \frac{\ln{3}}{3} - \frac{\ln{4}}{4} + … + (-1)^{n-1}{\frac{\ln{n}}{n}} + …
$$

这些都是交错级数

定理(莱布尼茨定理)

如果交错级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n
$$
满足条件

  • $u_n >= u_{n+1} \ (n=1,2,3,…)$
  • $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = 0$

那么级数收敛

且其和 $s<=u_1$

余项 $r_n$ 的绝对值 $|r_n|<= u_{n+1}$

证明

先证明前 $2n$ 项的和 $s_{2n}$ 的极限存在
$$
s_{2n} = (u_1-u_2) + (u_3-u_4) + .. + (u_{2n-1}-u_{2n}), \ { s_{2n} }
$$
因为括号里面的每一项都大于 $0$

所以这个部分和数列增加

所以就有
$$
s_{2n} >= 0
$$
而再把前 $2n$ 项的和 $s_{2n}$ 写成如下形式
$$
s_{2n} = u_1 - (u_2-u_3) - (u_4-u_5) - … - (u_{2n-2}-u_{2n-1}) - u_{2n}
$$
由于括号里面每一项都大于 $0$

所以 $u_1$ 减去无数个大于 $0$ 的数,结果一定小于 $u_1$

所以就有
$$
s_{2n} <= u_1
$$
从而有 $0<=s_{2n}<=u_1$

即 数列 $s_{2n}$ 有界,而且这个界限一定小于等于 $u_1$
$$
\lim\limits_{n \to \infty} s_{2n} = s <= u_1
$$

然后再证明
$$
\lim\limits_{n \to \infty} s_{2n+1} = s
$$
因为
$$
s_{2n+1} = s_{2n} + u_{2n+1}
$$
并且有界数列有如下定理
$$
\lim\limits_{n \to \infty} s_{2n+1} = 0
$$
因此
$$
\lim\limits_{n \to \infty} s_{2n+1} = \lim\limits_{n \to \infty} (s_{2n} + u_{2n+1}) = s
$$
所以有
$$
\lim\limits_{n \to \infty} s_n = s
$$

$$
s <= u_1
$$
还有
$$
r_n = ± (u_{n+1}-u_{n+2}+…)
$$
所以两端加绝对值符号等于
$$
|r_n| = u_{n+1}-u_{n+2}+…
$$

技巧

判别交错级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n
$$
的收敛性时


$$
u=f(n)
$$
如果数列 ${f(n)}$ 单调减少不容易判断,

可通过验证当 $x$ 充分大时 $f’(x)<=0$ 来判断当 $n$ 充分大时 数列 ${ f (n)}$ 的单调减少

如果直接求极限
$$
\lim\limits_{n \to \infty} f(n)
$$
有困难

亦可通过求 $f(n)$ 的右侧极限来求得原函数极限 (假定它存在)
$$
\lim\limits_{n \to +\infty} f(n)
$$

绝对值级数

假设有一个常数项级数
$$
\sum_{i=0}^{\infty} u_n = u_1 + u_2 + … + u_n + …
$$
它的各项为任意实数

如果将 $u_n$ 加绝对值以后得到的绝对值级数如下
$$
\sum_{i=0}^{\infty} |u_n| = |u_1| + |u_2| + … + |u_n| + …
$$
其中每一项都是正项,所以这个级数为正项级数

绝对收敛

如果级数 $\sum_{i=0}^{\infty} |u_n|$ 收敛

则称级数 $\sum_{i=0}^{\infty} u_n$ 绝对收敛

条件收敛

如果级数 $\sum_{i=0}^{\infty} u_n$ 收敛

而 $\sum_{i=0}^{\infty} |u_n|$ 发散

则称级数 $\sum_{i=0}^{\infty} u_n$ 条件收敛

定理

如果级数 $\sum_{i=0}^{\infty} u_n$ 绝对收敛

则级数 $\sum_{i=0}^{\infty} u_n$ 必定收敛

证明过程请查看参考资料 第 13 页

应用

根据上述定理,对于一般的级数 $\sum_{i=0}^{\infty} u_n$

如果我们用正项级数的审敛法判定级数 $\sum_{i=0}^{\infty} |u_n|$ 收敛

则此级数收敛

这就使得一大类级数的收敛性判定问题

转化为正项级数的收敛性判定问题

注意

一般来说,如果级数 $\sum_{i=0}^{\infty} |u_n|$ 发散,不能断定级数 $\sum_{i=0}^{\infty} u_n$ 也发散

但是如果用比值审敛法或者根值审敛法根据
$$
\lim\limits_{n \to \infty} |\frac{u_{n+1}}{u_n} | = \rho > 1
$$
或者
$$
\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|u_n|} = \rho > 1
$$

判定级数 $\sum_{i=0}^{\infty} |u_n|​$ 发散

则可以断定级数 $\sum_{i=0}^{\infty} u_n$ 必定发散

因为从 $\rho > 1$ 可推知
$$
\lim\limits_{n \to \infty} |u_n| ≠ 0
$$
从而
$$
\lim\limits_{n \to \infty} u_n ≠ 0
$$
因此级数 $\sum_{i=0}^{\infty} u_n​$ 发散

参考资料