幂级数

函数项级数

给一个定义在区间上的函数数列
$$
u_1(x), u_1(x), … , u_n(x), …
$$
其中每一个项都是一个关于 $x$ 的函数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) = u_1(x) + u_2(x) + … + u_n(x) + …
$$
称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数,简称(函数项)级数

例子

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin{nx}}{n^2} = \frac{\sin{x}}{1} + \frac{\sin{2x}}{2^2} + … + \frac{\sin{nx}}{n^2} + …
$$

敛散点

对于每一个确定的值 $x_0 ∈ I$ 有常数项级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) = u_1(x) + u_2(x) + … + u_n(x) + …
$$

收敛点


$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)
$$
收敛

则称点 $x_0$ 是 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)​$ 的收敛点

发散点


$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)
$$
发散

则称点 $x_0$ 是 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)$ 的发散点

敛散域

对于函数项级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)
$$
收敛点的全体称为它的收敛域

发散点的全体称为它的发散域

和函数

在收敛域上,函数项级数的和是 $x$ 的函数 $s(x)$

通常称 $s(x)$ 为函数项级数的和函数

和函数的定义域就是级数的收敛域

并写成
$$
s(x) = u_1(x) + u_2(x) + … + u_n(x) + …
$$
它也就是级数的前 $n$ 项和

在收敛域上有
$$
\lim\limits_{n \to \infty} s_n(x) = s(x)
$$
记作
$$
r_n(x) = s(x) - s_n(x)
$$
其中 $r_n(x)$ 为函数项级数的余项


$$
\lim\limits_{n \to \infty} r_n(x) = 0
$$

幂级数

形如如下公式的函数项级数称为 $(x-x_0)$ 的幂级数
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + … + a_n(x-x_0)^n + …
$$
当 $x_0=x$ 时有如下特殊形式
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_nx^n + …
$$
其中的常数项 $a_0,a_1,a_2,…,a_n,…$ 称作幂级数的系数

收敛性

对于这个幂级数
$$
\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + … + x^n + …
$$
我们来研究它的收敛性

当 $|x|<1$ 时
$$
\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}
$$
当 $|x|>1$ 时

此级数发散

收敛域是开区间 $(-1,1)$

发散域是 $(-\infty,-1] U [1,+\infty )$
$$
\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+…+x^n+… \ (-1<x<1)
$$

阿贝尔(Abel)定理

如果级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 当 $x=x_0 \ (x_0 ≠ 0)$ 时收敛

则适合不等式 $|x|<|x_0 |$ 的一切 $x$ 使这幂级数绝对收敛

反之

如果级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n​$ 当 $x=x_0 \ (x_0 ≠ 0)​$ 时发散

则适合不等式 $|x|>|x_0 |$ 的一切 $x$ 使这幂级数发散

定理

如果幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n​$ 当 $x=x_0 \ (x_0 ≠ 0)​$ 时发散

则对于闭区间 $[-|x_0|,|x_0|]$ 外的任何 $x$

幂级数都发散

幂级数的收敛于有如下特征

收敛域从原点开始向两端扩张

初始时遇到的均为收敛点

在某一时刻遇到发散点

以后的所有点均为发散点

推论

如果幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n​$ 不仅仅是在 $x=0​$ 一点收敛

也不是在整个数轴上都收敛

则必有一个确定的正数 $R$ 存在

使得

  • 当 $|x|<R$ 时 幂级数绝对收敛
  • 当 $|x|>R​$ 时 幂级数发散
  • 当 $|x|=±R$ 时 幂级数可能收敛也可能发散

收敛半径

定义

例如幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ 的收敛半径为 $R=1$

开区间 $(-R,R)$ 叫做幂级数的收敛区间

收敛域为如下之一

  • $(-R,R)​$
  • $[-R,R)​$
  • $(-R,R]$
  • $[-R,R]$

若幂级数只在 $x = 0$ 处收敛,规定收敛半径 $R = 0$

若幂级数对一切 $x$ 都收敛,规定 $R=+\infty$ ,收敛域 $(+\infty,-\infty)​$

求法

如果
$$
\lim\limits_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n} | = \rho
$$
那么它的收敛半径如下

  • $\rho ≠ 0$ 时, $ R = \frac{1}{\rho} $
  • $\rho = 0​$ 时, $ R = +\infty ​$
  • $\rho = +\infty $ 时, $ R = 0 $

证明过程见参考资料 2

运算

$\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 在 $(-R_1,R_1)​$ 内收敛

$\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 在 $(-R_2,R_2)$ 内收敛


$$
R_{min} = min{ R_1,R_2 }
$$

$$
x ∈ (-R_{min},R_{min})
$$

两个级数均收敛

加减运算

$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n ± \sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n =
\sum_{n=0}^{\infty} (a_n±b_n)x^n, \ x ∈ (-R_{min},R_{min})
$$

级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n ± \sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 的收敛半径即为 $R_{min} = min{ R_1,R_2 }$

如果两个级数的收敛域分别为 $D_1,D_2$

则级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n ± \sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 的收敛域为 $D \subset D_1 \cap D_2$

乘法运算

$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n \cdot \sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n =
\sum_{n=0}^{\infty} (\sum_{i+j=n}^{\infty}a_i b_j)x^n, \ x ∈ (-R_{min},R_{min})
$$

除法运算

$$
\frac{\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n}{\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n} = \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n , \ (b_0 ≠ 0)
$$

其中 $\sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n$ 的系数 $c_n$ 由如下递推关系确定
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n = \sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n \cdot \sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n = \sum_{n=0}^{\infty} (\sum_{i+j=n}^{\infty}b_i c_j)x^n
$$
通过比较等号两端的同次幂的系数,得到
$$
a_0=b_0c_0
$$
则有
$$
a_1 = b_1 c_0 + b_0 c_1 \\
a_2 = b_2 c_0 + b_1 c_1 + b_0 c_2 \\
….
$$
由此可以求出 $c_n$

相除后所得的幂级数的收敛区间可能比原来两个级数的收敛区间小得多

和函数的性质

性质1

幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛域 $I$ 上连续

性质2

幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛域 $I$ 上可积

并且有逐项积分公式
$$
\int_0^x s(t)dt = \int_0^x [\sum_{n=0}^{\infty} a_nt^n]dt = \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^x a_nt^ndt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}
$$

性质3

幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛区间 $(-R,R)$ 内可导

且有逐项求导公式
$$
s’(x) = (a_n x^n)’ = \sum_{n=0}^{\infty} (a_n x^n)’ = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{x-1}
\ , \ (|x|<R)
$$
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

幂级数的和函数 $s(x)$ 在其收敛区间 $(-R,R)$ 内具有任意阶导数

应用

结合上述性质,可以求出某个级数的和函数

参考资料