三角级数

三角级数

将一些周期函数展开成由无数个周期函数(例如三角函数)组成的级数

如果 $f(t)$ 是周期为 $T=\frac{2\pi}{\omega}$ 的周期函数

则有如下三角级数函数形式
$$
f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin{n \omega t + \phi_n}
$$
其中 $A_0,A_n,\phi_n(n=1,2,3,…)$ 都是常数

将正弦函数经过三角恒等变换
$$
A_n \sin{(n \omega t + \phi_n)} =
A_n \sin{\phi_n}\cos{n \omega t} + A_n \cos{\phi_n}\sin{n \omega t}
$$

  • $\frac{a_0}{2}=A_0$
  • $a_n = A_n \sin{\phi_n}$
  • $b_n=A_n \cos{\phi_n}$
  • $\omega t = x$

则上述三角级数就可以改写为
$$
f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin{n \omega t + \phi_n} \\
= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos{nx} + b_n \sin{nx})
$$
其中 $a_0,a_n,b_n (n=1,2,3,…)$ 都是常数

正交性

下面这些三角函数在区间 $[-\pi,\pi]$ 上是正交函数系

  • $1$
  • $\cos{x}$
  • $\sin{x}$
  • $\cos{2x}$
  • $\sin{2x}$
  • $…$
  • $\cos{nx}$
  • $\sin{nx}$

所谓正交,也就是这些函数系列在区间 $[-\pi,\pi]$ 上的积分都为 0
$$
\int_{-\pi}^{\pi} \cos{nx} dx = 0 \ (n=1,2,3,…)
$$

$$
\int_{-\pi}^{\pi} \sin{nx} dx = 0 \ (n=1,2,3,…)
$$

$$
\int_{-\pi}^{\pi} \sin{kx}\cos{nx} dx = 0 \ (n=1,2,3,…)
$$

$$
\int_{-\pi}^{\pi} \cos{kx}\cos{nx} dx = 0 \ (k,n=1,2,3,…,k≠n)
$$

$$
\int_{-\pi}^{\pi} \sin{kx}\sin{nx} dx = 0 \ (k,n=1,2,3,…,k≠n)
$$

证明

当 $k≠n$ 时
$$
\int_{-pi}^{\pi} \cos{kx}\cos{nx} dx \\
= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \left[ \cos{(k+n)x}+\cos{(k-n)x} \right] dx \\
= \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin{(k+n)x}}{k+n} + \frac{\sin{(k-n)x}}{k-n} \right]_{-\pi}^{\pi} \\
= 0
$$

定理

在三角函数系中

两个相同函数的乘积在区间 $[-\pi,\pi]$ 上的积分不等于零

且有如下特殊值
$$
\int_{-\pi}^{\pi} 1^2 dx = 2\pi
$$

$$
\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2{nx} dx = \pi \ (n=1,2,3,…)
$$

$$
\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2{nx} dx = \pi \ (n=1,2,3,…)
$$

参考资料