傅里叶级数

前言

上一章三角级数中,提到了一个周期函数可以分解成无数个三角函数的相加

也就是周期函数可以转换成三角级数

但是上一章中只是给出了三角级数的形式,其中的系数 $a_0,a_n,b_n$ 仍然还是未知数

傅里叶系数推导

$$
f(x) = A_0 + \sum_{k=1}^{\infty} A_k \sin{k \omega t + \phi_k} \\
= \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k \cos{kx} + b_k \sin{kx})
$$

先求其中的 $a_0$

对上式从 -\pi 到 \pi 逐项积分有
$$
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx =
\int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_0}{2} dx +
\int_{-\pi}^{\pi} \sum_{k=1}^{\infty}(a_k \cos{kx} + b_n \sin{kx}) dx \\
=
\int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_0}{2} +
\sum_{k=1}^{\infty}(a_k \int_{-\pi}^{\pi} \cos{kx} dx + b_k \int_{-\pi}^{\pi} \sin{kx} dx) \\
$$
单独看第二个加数,根据前面学过的正交性可以得出如下公式
$$
a_k \int_{-\pi}^{\pi} \cos{kx} dx + b_k \int_{-\pi}^{\pi} \sin{kx} dx \\
= a_k \cdot 0 + b_k \cdot 0
$$
所以原始式子如下
$$
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx = \frac{a_0}{2} \cdot 2\pi
$$
移项之后得到
$$
a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx
$$

其次求 $a_n$

用 $\cos{nx}$ 乘等式两端

再从 $-π$ 到 $π$ 逐项积分


$$
\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos{nx} dx \\
= \frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos{nx} dx

  • \sum_{k=1}^{\infty}(a_k \int_{-\pi}^{\pi} \cos{kx}\cos{nx} dx + b_k \int_{-\pi}^{\pi} \sin{kx}\cos{nx} dx)
    \\
    = 0 + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k \int_{-\pi}^{\pi} \cos{kx}\cos{nx} dx) + 0 \\
    = \sum_{k=1}^{\infty}(a_k \int_{-\pi}^{\pi} \cos{kx}\cos{nx} dx)
    $$
    最后得出
    $$
    a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos{nx} dx \ (n=1,2,3,…)
    $$

最后求 $b_n$

用 $\sin{nx}$ 乘等式两端

再从 $-π$ 到 $π$ 逐项积分

根据上述类似的推导步骤


$$
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin{nx} dx \ (n=1,2,3,…)
$$

傅里叶系数

$a_n,b_n$ 为函数 $f(x)$ 的傅里叶系数

如果三角级数
$$
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k \cos{kx} + b_k \sin{kx})
$$
中的系数是函数 $f(x)$ 的傅里叶系数

这样的三角级数叫做函数 $f(x)$ 的傅里叶级数

如果函数 $f(x)$ 定义在 $(-\infty, +\infty)$ 上

$T = 2\pi$

在一个周期上可积分

则一定可以做出 $f(x)$ 的傅里叶级数

收敛定理 (狄利克雷(Dirichlet)充分条件)

设 $f (x)$ 是周期为 $2π​$ 的周期函数,如果它满足:

  • 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
  • 在一个周期内至多只有有限个极值点

则 $f(x)$ 的傅里叶级数收敛

并且当 $x$ 是 $f(x)$ 的连续点时

级数收敛于 $f(x)$

当 $x$ 是 $f(x )$ 的间断点时

级数收敛于左右极限的平均值
$$
\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]
$$
记作
$$
C={ x|f(x)=\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)] }
$$
在 $C$ 上成立 $f(x)$ 的傅里叶级数展开式
$$
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k \cos{kx} + b_k \sin{kx}) ,\ x∈C
$$

非 $2\pi$ 全周期函数的延展

如果函数 $f(x)$ 仅仅只在 $[-π,π]$ 上有定义

并且满足收敛定理的条件

$f (x)$ 仍可以展开成傅里叶级数

方法

  • 周期延拓 在 $[-π,π)$ 或 $(-π,π]$ 外补充函数 $f(x)$ 的定义
  • 使它被拓广成周期为 2π 的周期函数 $F(x)$
  • 将 $F(x)​$ 展开成傅里叶级数
  • 限制 $x∈(-π,π)$ 此时 $F(x)=f(x)$

该级数在区间端点处 $x=±\pi$ 收敛与 $f(x)$ 在 $\pi$ 左右值 $\frac{1}{2}[f(\pi^-)+f(\pi^+)]$

正弦级数

对于周期为 $2π$ 的函数 $f (x)$

当 $f (x)$ 为奇函数时

傅里叶级数有如下公式成立
$$
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos{nx} dx = 0 \ (n=1,2,3,…)
$$

$$
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin{nx} dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x) \sin{nx} dx \ (n=1,2,3,…)
$$

所以原式子为
$$
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}(b_k \sin{kx})
$$

余弦级数

对于周期为 $2π$ 的函数 $f (x)$

当 $f (x)$ 为奇函数时

傅里叶级数有如下公式成立
$$
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin{nx} dx = 0 \ (n=1,2,3,…)
$$

$$
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos{nx} dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x) \cos{nx} dx \ (n=1,2,3,…)
$$

​  大学,/bgvƒç 所以原式子为
$$
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k \cos{kx})
$$

延拓

在实际应用中

有时还需把定义在区间 $[0,π]$ 上并且满足收敛定理条件的函数 $f (x)$ 展开成正弦级数或余弦级数

奇延拓(偶延拓)

在开区间 $(-π,0)$ 内补充函数 $f(x)$ 的定义

得到定义在 $(-π,π]$ 上的函数 $F(x)$

使 $F(x)$ 在 $(-π,π]$ 上成为奇函数 (偶函数)

将 $F(x)$ 展开成傅里叶级数

这个级数必定是正弦级数(余弦级数)

限制 $x∈(-0,π]$

此时 $F(x)=f(x)$

这样便得到 $f (x)$ 的正弦级数(余弦级数)展开式

一般周期傅里叶级数

设周期为 $2l$ 的周期函数 $f (x)$ 满足收敛定理的条件

则它的傅里叶级数展开式为
$$
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k \cos{\frac{n\pi x}{l}} + b_k \sin{\frac{n\pi x}{l}}) ,\ x∈C
$$
其中傅里叶系数
$$
a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos{\frac{n\pi x}{l}} dx, \ (n=0,1,2,…)
$$

$$
b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin{\frac{n\pi x}{l}} dx, \ (n=1,2,3,…)
$$

而 $x$ 的取值范围 $C$ 为函数 $f(x)$ 在 $x$ 左右侧的平均值


$$
C=\left{ x|f(x)=\frac{1}{2}[f( x^- + f(x)^+ )] \right}
$$

如果函数 $f (x)​$ 为奇函数
$$
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin{\frac{n\pi x}{l}} \ (x ∈ C)
$$

$$
b_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \sin{\frac{n\pi x}{l}} dx, \ (n=1,2,3,…)
$$

如果函数 $f (x)$ 为偶函数
$$
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos{\frac{n\pi x}{l}} \ (x ∈ C)
$$

$$
a_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \cos{\frac{n\pi x}{l}} dx, \ (n=0,1,2,…)
$$

参考资料