线性代数之行列式

二元一次方程组

$$
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2
$$

用高斯消元法把其中一个未知数消去

全排列

对换

在排列中将任意两个元素对调,其余元素保持不动,这种得到新排列的手续叫对换.将相邻两个元素对换,叫相邻对换.

定理 1

一个排列中任意两个元素对调,排列改变奇偶性

推论 1

奇排列对换成自然排列 $1, 2,…, n$ 的对换次数为奇数

偶排列对换成自然排列的对换次数为偶数

推论 2

在 $1, 2,…, n$ 所有的排列中,奇偶排列各占一半.

行列式

代数余子式

$$
D = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}
$$

$A_{ij} = (-1)^{i+j} M^{ij}$ 称为 $a_{ij}$ 的代数余子式

$M_{ij}$ 称为 $a_{ij}$ 的余子式

余子式不带正负号,代数余子式带正负号

主对角线

左上角第一个元素到右下角最后一个元素

副对角线

右上角第一个元素到左下角最后一个元素

作用

通过分析线性方程组的解的公式,得出线性方程组求解可以转换为行列式计算问题

本质

行列式本质是一个数,而这个数是通过多行多列按照对角线求解公式得到的。

表示行列式通常使用多行多列的二维数组表示,两边加上竖线

计算

行列式的结果如下所示
$$
= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}

  • a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}
    $$
    是通过主对角线上的每个数的乘积减去副对角线上每个数的乘积

如果主对角线上不足 行列式阶数个 数,则需要把行列式两边重复写上这个行列式(补足)之后再按照补足之后的对角线来算

例如 $a_{12}a_{23}a_{31}$ 就是在行列式右边再补上一个行列式,然后计算第二列对角线乘积得到的

对角行列式

等于对角线乘积

三角行列式

也是对角线乘积

斜三角行列式

$$
(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2(n-1)}…a_{n1}
$$

2n阶行列式

中间有abcd二维方阵,其他数字都出现在对角线上
$$
D_{2n}=(ad-bc)^n
$$

性质

转置

行列变换

第一行变第一列,第n行变第n列
$$
D=D^T
$$
值相等

互换两行,行列式变号

同济大学教材使用全排列证明

行列式两行完全相同,行列式为0

推论

设 $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式

则有
$$
a_{j1}A_{i1} + a_{j2}A_{i2} + … + a_{jn}A_{in} = 0 \ (i≠j) \
a_{1j}A_{1i} + a_{2j}A_{2i} + … + a_{nj}A_{ni} = 0 \ (i≠j)
$$
当 i=j 的时候上面式子结果就是 D

n阶行列式

根据前面全排列的推导,我们可以总结出n阶行列式的表达式

行列式每一项乘积结果前面的正负号由行列式的列指标排列 $j_1 j_2 j_3$ 的奇偶性确定

负号: $j_1 j_2 j_3$ 奇排列

正号: $j_1 j_2 j_3$ 偶排列

则三阶行列式可以写为
$$
\sum_{j_1 j_2 j_3 ∈ P_3} (-1)^{\tau(j_1 j_2 j_3)} a_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3}
$$

定义

$n$ 阶行列式是由 $n^2$ 个数 $a_{ij}(1<=i<=n, 1<=j<=n)$ 排成的一个 $n$ 行 $n$ 列的正方形数表

该数表表示一个数,称为由 $n^2$ 个数 $a_ij$ 构成的 $n$ 阶行列式

行列式展开

用代数式表达行列式就是行列式的展开

  • 对所有的排列求和,展开式是 $n!$ 项的代数和
  • 每一项 $a_{1i_1}a_{2i_2}…a_{ni_n}$ 行指标依自然顺序排列
  • 当行指标成自然排列时, $a_{1i_1}a_{2i_2}…a_{ni_n}$ 的列指 $i$ 所成排列的奇偶性决定该项正负号

特殊行列式

三角行列式

  • 下三角行列式:只有对角线左下的数字大于等于0
  • 上三角行列式:只有对角线右上的数字大于等于0

对角行列式

只有对角线不为0,既是上三角行列式又是下三角行列式

他们展开都等于对角线上所有数字的乘积
$$
(-1)^{\tau 12…n}a_{11}a_{22}…a_{nn}
$$

性质

  • 行列式的行、列互变,值不变 $D = D^T$ (互换以后 $D$ 中每一项连同符号都与 $D^T$ 中的项相等 )
  • 交换行列式的两行(列),行列式变号 (因为交换以后行列式里面一定有排列互换,全排列互换会导致奇偶性一定发生变化,导致符号变化)
  • 若行列式有两行(列)完全相同,则行列式等于零 (因为交换后行列式变号,但是行列式不带符号的展开仍然相等,所以 $D=-D$ 所以 $D=0$ )
  • 若行列式的某一行(列)有公因子 k , k 可以提到行列式前面. 用 k 乘行列式,等于用 k 乘行列式的某一行(列) (可以通过行列式展开,然后乘法交换律和结合律提出因数来证明)
  • 若行列式 $D_n$ 的某一行(列)元素全为零,则 $D_n=0$ (只要在上一条性质中,令 $k = 0$ 即可)
  • 若行列式有两行(列)成比例,则行列式等于零 (只要把比例系数提出来,就变成了行列式的行(列)完全相同的情况了,可以用之前的性质证明)
  • 分拆定理:将行列式中某一行分拆成两个数相加,则行列式也可以分拆成两个行列式,并且两个行列式的该行分别为这两个加数

$$
\sum_{j_1 j_2 j_3 ∈ P_3} (-1)^{\tau(j_1 j_2 … j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2} … (b_{ij_i} + c_{ij_i}) …a_{nj_n} \
= \sum_{j_1 j_2 j_3 ∈ P_3} (-1)^{\tau(j_1 j_2 … j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2} … b_{ij_i} …a_{nj_n} \

  • \sum_{j_1 j_2 j_3 ∈ P_3} (-1)^{\tau(j_1 j_2 … j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2} … c_{ij_i} …a_{nj_n}
    $$
  • 行列式某行(列)的倍数加到另一行(列),值不变 (证明较为复杂,可参考同济大学教材)

余子式

定义

在 $n$ 阶行列式中,把元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列 元素划去,留下来的 $n-1$ 阶行列式,称为元素 $a_{ij}$ 的余子式,记为: $M_{ij}$

代数余子式

n 阶行列式中, 元素 $a_ij$ 的代数余子式 $A_ij$ 定义为
$$
A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}
$$
代数余子式多了前面的正负号,正负号取决于行列下标的值的奇偶性

引理

在 $n$ 阶行列式 $D$ 中, 若第 $i$ 行元素除 $a_{ij}$ 外, 都是0
$$
D = a_{ij} A_{ij}
$$

定理

任意选定行列式的某一行(比如第 i 行),则行列式等于该行元素与其对应代数余子式乘积之和

克莱姆法则

$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & x_{12} & \cdots & a_{1n}\
a_{21} & x_{22} & \cdots & a_{2n}\
\vdots & \vdots & &\vdots\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\
\end{vmatrix} ≠ 0
$$

则方程组有唯一解
$$
x_j = \frac{D_j}{D}
$$
其中
$$
D_j =
\begin{vmatrix}
a_{11} & x_{1(j-1)} & b_1 & \cdots & a_{1(j+1)} & a_{1n}\
\vdots & \vdots & &\vdots\
a_{n1} & a_{n(j-1)} & b_1 & \cdots & a_{n(j+1)} & a_{nn}\
\end{vmatrix}
$$
把方程组里面常数项的第 j 列换成右边的 $b_n$

利用克拉默法则求解一个含 3 个 方程、3 个未知量的线性方程组,需要计算 4 个三阶行列式,计算量较大!

“克拉默法则”只能处理特殊的线性方程组,即方程个数与未知量个数相等的线性方程组

证明

对于线性方程组
$$
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2
$$
系数矩阵是
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
$$
他的解
$$
x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{
\begin{vmatrix}
b_{1} & a_{12} \
b_{2} & a_{22}
\end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
}
$$

$$
x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{
\begin{vmatrix}
a_{11} & b_{1} \
a_{21} & b_{2}
\end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
}
$$

我们现在想要证明的是方程组唯一解的表达形式
$$
x_j = \frac{D_j}{D}
$$
所以我们只要证明
$$
a_{11}\frac{D_1}{D} + a_{12}\frac{D_2}{D} + … + a_{1n}\frac{D_n}{D} = b_1
$$
整理得到
$$
b_1D - a_{11}D_1 - a_{12}D_2 - … - a_{1n}D_n = 0
$$
对于这个式子,我们可以当做一个数乘以它的余子式,然后相加得到一个矩阵

但是在相加的过程中,可能b_n这种常数项不一定在我们想要的位置,我们可以通过列变换符号变号的方式转换得到,最后经过一系列的转换,就证明了。

范德蒙行列式

$$
D_j =
\begin{vmatrix}
a_1^{0} & a_2^{0} & \cdots & a_n^{0} \
a_1^{1} & a_2^{1} & \cdots & a_n^{1} \
\vdots & \vdots & &\vdots\
a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \
\end{vmatrix} = \
(a_2-a_1)(a_3-a_1)…(a_n-a_1) \
(a_3-a_2)…(a_n-a_2) \
… (a_n-a_{n-1})
$$

使用归纳法证明:进行行变换,逐步变换得到