电磁学

研究内容

研究电磁现象规律的学科

研究物质间的电磁相互作用

电磁场产生、变化和运动的规律

四种基本相互作用

  • 引力相互作用
  • 电磁相互作用
  • 强相互作用
  • 弱相互作用

    在微观上,例如原子分子化学反应,本质上都是电磁相互作用

比较

强相互作用(1) > 电磁相互作用($10^{-2}$) > 弱相互作用($10^{-5}$) > 弱相互作用($10^{-38}$)

电荷

正电荷

与丝绸摩擦过的玻璃棒上带的电荷

负电荷

与毛皮摩擦过的橡胶棒上的电荷

性质

同号相斥,异号相吸

电荷守恒

一个系统如果没有净电荷出入他的边界,则其正负电荷的点亮代数和保持不变

电荷量子性

点和电量总是以基本单元(基元电荷)的整数倍出现

基元电荷是密立根油滴实验测得
$$
e=1.602·10^{-19}C
$$

相对论不变性

电荷电量与它的运动状态无关

大小

点亮,Q

SI单位:库伦(C)
$$
1C=1A·S
$$

理想模型

  • 认为电荷连续分布在带电体上
  • 点电荷:带电体线度远小于问题中涉及到的距离

库伦定律

成立条件

  • 真空
  • 静止
  • 点电荷

扭秤实验测得

两个带电小球在真空中的作用力
$$
F=k\frac{q_1q_2}{r^2 }
$$
其中
$$
k= \frac{1}{4\pi \epsilon_0} ≈9·10^9 N·m^2/C^2
$$

真空介电常数

$$
\epsilon_0 = 8.85·10^{-12}C^2N^{-1}m^{-2}
$$

讨论原子间相对作用时可以忽略万有引力,因为库仑力远大于万有引力

电力叠加原理

对于由 n 个点电荷 $q_1, q_2, … , q_n$ 组成的电荷系, q_0 受到的总电力为
$$
F=F_1 + F_2 + … + F_n
$$

电场

电荷周围存在电场

电场对放置在其中的任何电荷都有作用力(电场力)

电场力对移动电荷做功

电场强度矢量

$$
{E}=\frac{F}{q}
$$

电场是客观存在的,和是否引入了试验电荷,试验电荷的大小无关

点电荷场强公式

$$
E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r}e_r
$$

点电荷形成的电场球对称

$e_r$ 从源电荷指向场点

场强方向:正电荷受力方向

大Q点电荷为正,则场强方向向外,否则向内

点电荷系的场强

利用场强叠加原理

电偶极子

一对等量异号点电荷±q

其间距离为l

l方向由-q指向+q

当考察点P到两个电荷连线重点O的距离r远大于l时

这两个等量异号点电荷组成的电荷对称为电偶极子

电量q和矢量l的乘积ql矢量称为电偶极矩
$$
p=ql
$$

电偶极子场强

$$
\vec E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 r^3}[-\vec{p}+3(\vec{e}_r·\vec{p})\vec{e}_r]
$$

延长线上

$$
\vec E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{2\vec{p}}{r^3}
$$

中垂面上

$$
\vec E = -\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\vec{p}}{r^3}
$$

均匀带电细棒的场强

$$
E_x= \frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 a} (\cos{\alpha_1}-\cos{\alpha_2})
$$

$$
E_y= \frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 a} (\sin{\alpha_1}-\sin{\alpha_2})
$$

带电薄平板的场强

将薄平板在宽度上分解出无限个 dx

求解无限长带电细棒的场强乘以 dx

对这个 dx 进行积分,积分上下限为它的宽度

即可求出

当 $P_1$ 在平板侧面一点时

$$
E_1 = \int_{\frac{-b}{2}}^{\frac{b}{2}} \frac{\sigma dx}{2\pi \epsilon_0 (d_1-x)} = \frac{\sigma}{2\pi \epsilon_0}\ln{\frac{2d_1+b}{2d_1-b}}
$$

当 $P_2$ 在平板侧面一点时

$$
E_2 = \int_{\frac{-b}{2}}^{\frac{b}{2}} \frac{\sigma d_2 dx}{2\pi \epsilon_0 (d_2^2-x^2)} = \frac{\sigma}{2\pi \epsilon_0 }[\arctan{\frac{b}{2d_2}} - \arctan{-\frac{b}{2d_2}}]
$$

均匀带电圆环轴线上的场强

将圆环分解出无限个 dq

求出点电荷产生的场强

将这个场强对 dq 进行积分,上下限为圆环周长

即可求出
$$
E=\frac{xQ}{4\pi \epsilon_0(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}
$$
圆心处 E=0
$$
x=\frac{\sqrt{2}}{2}
$$
最大场强处,根据极值点求得

均匀带电薄圆盘轴线上的场强

带电薄圆盘看成多个同心的细圆环组成

对半径进行积分
$$
E= \frac{\sigma}{2\epsilon_0}[1-\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}]
$$

无限大均匀带电平面的场强

将上面求得的均匀带电薄圆盘轴线上的场强中

假设这个薄圆盘的R半径无限大

即可求出
$$
E= \frac{\sigma}{2\epsilon_0}
$$

电场线

方向

每一点的切线方向和该点场强方向一致

数密度

使得通过电场中任一点与电场垂直的单位面积的电场线数目,等于或者正比于该点场强量值

电通量

通过任一面的电场线条数

其中 S 为该面的面积
$$
\phi_e = \int\limits_{S} \vec{E}·d\vec{S}
$$

高斯定理

在真空中的静电场内

任一闭合面的电通量等于这闭合面所包围的电量的代数和除以 $\epsilon_0$
$$
\phi_e = \int\limits_{S} \vec{E}·d\vec{S} = \frac{\sum_{i} q_i}{\epsilon_0}
$$
其中 S 为高斯面, $q_i$ 为高斯面内的电荷量

注意事项

通过库仑定律和场强叠加原理严格推导产生

均匀带电球壳场强

使用微元法来求解

将球壳表面积划分为 dS 无限小的微元来计算

均匀带电球体内场强

$$
\vec{E} = \
\frac{\rho r}{3\epsilon_0} \vec{r} = \frac{q}{4\pi \epsilon_o R^3} \vec{r}, \ (r<=R) \
\frac{q}{4\pi \epsilon_o r^2} \vec{r}, \ (r>R)
$$

无限大带电平板场强

$$
\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}
$$

静电场环路定理

静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒为零,场强的环流恒为零

也就是说电荷如果在电场中走一大圈最后回到原点,那么电场对这个电荷做的功就是0

保守力

力所做的功只与物体的始末位置有关

与所经历的路径无关

这类力叫做保守力

如 万有引力 弹性力 静电力

应用

判断是否为静电场

通过在电场线中做一个环路,计算是否为0

静电场为保守场,无旋场

由于静电场环路定理,使得静电场电场线不能相交,否则他们切线的电场线方向不闭合了

电势与电势能

电势

$$
\phi = \frac{W}{q_0}
$$

0电势

无限大,无穷远,大地

电势叠加原理

任意电场中,某点电势等于所有电势叠加的代数和

等势面

由电势相等的点组成的面叫等势面

电势梯度

在方向上与该点处电势增加率最大的方向相同,量值上等于该方向上的电势增加率

电势梯度是矢量

导体

有大量可以自由移动的电荷

静电平衡

导体内部和表面无电荷的定向移动